Atividade 2. Calcule:
a) integral x^2 ln (x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo que pede para calcular a integral . Aqui, estamos lidando com integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como e . Para isso, vamos precisar identificar qual parte da expressão será e qual será , seguindo a fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa fórmula nos ajuda a simplificar a integral quando temos o produto de duas funções.

Passo 3

Agora, precisamos escolher u = ln(x) e dv = x^2 , dx e na nossa integral . Geralmente, escolhemos como a função que se simplifica ao derivarmos. Vamos escolher:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular du = 1x , dx (derivada de ln(x) ) e v = integral x^2 , dx = x^33 (integral de x^2 ) a partir das escolhas que fizemos:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x^2 ln(x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln(x) cdot x^33 - integral x^33 cdot 1x , dx

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x^33 cdot 1x = x^23
Então, nossa equação fica:
= x^3 ln(x)3 - integral x^23 , dx

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral restante:
integral x^23 , dx = 13 integral x^2 , dx = 13 cdot x^33 = x^39

Passo 8

Substituímos esse resultado de volta na expressão anterior:
= x^3 ln(x)3 - x^39 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Podemos simplificar ainda mais colocando os termos sobre um denominador comum:
= 3x^3 ln(x)9 - x^39 + C = x^3(3ln(x) - 1)9 + C

Resposta

A integral x^3(3ln(x) - 1)9 + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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