Atividade 2. Calcule:
a) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo que pede para calcular a integral . Aqui, estamos lidando com integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como e . Para isso, vamos precisar identificar qual parte da expressão será e qual será , seguindo a fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes:
Essa fórmula nos ajuda a simplificar a integral quando temos o produto de duas funções.

Passo 3

Agora, precisamos escolher e na nossa integral . Geralmente, escolhemos como a função que se simplifica ao derivarmos. Vamos escolher:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular e a partir das escolhas que fizemos:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, nossa equação fica:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral restante:

Passo 8

Substituímos esse resultado de volta na expressão anterior:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Podemos simplificar ainda mais colocando os termos sobre um denominador comum:

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Atividade 4. Calcule:
e) ;
Sabendo que e , ache .
Use frações parciais para achar a solução das seguintes integrais:
;
Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
;