Use frações parciais para achar a solução das seguintes integrais:
integral 1x^2-1 d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando frações parciais. Esse exercício está no assunto de Cálculo Integral, mais especificamente na técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções racionais. Para isso, vamos precisar decompor a fração em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Sabemos que 1x^2-1 = 1(x - 1)(x + 1) é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Então, a fração fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar 1(x - 1)(x + 1) = Ax - 1 + Bx + 1 como a soma de duas frações simples. Ou seja:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar 1 = A(x + 1) + B(x - 1) e 1 = A x + A + B x - B , vamos multiplicar ambos os lados da equação por 1 = (A + B)x + (A - B) para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos os termos:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Comparando os coeficientes dos termos correspondentes, temos:
A + B = 0 (coeficiente de x)
A - B = 1 (termo constante)
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, - B - B = 1 Rightarrow -2B = 1 Rightarrow B = -12 . Substituindo na segunda:
E, portanto, .

Passo 6

Agora que encontramos 1x^2-1 = 1/2x - 1 - 1/2x + 1 e integral 1x^2-1 , dx = 12 integral 1x - 1 , dx - 12 integral 1x + 1 , dx , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Isso simplifica a integral original para:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 12 integral 1x - 1 , dx = 12 ln|x - 1| é - 12 integral 1x + 1 , dx = -12 ln|x + 1| mais a constante de integração. Aplicando isso:
12 ln|x - 1| - 12 ln|x + 1| + C
Juntando as duas partes, temos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução da integral é:
12 ln|x - 1| - 12 ln|x + 1| + C

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