Use frações parciais para achar a solução das seguintes integrais:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando frações parciais. Esse exercício está no assunto de Cálculo Integral, mais especificamente na técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções racionais. Para isso, vamos precisar decompor a fração em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Sabemos que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Então, a fração fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar como a soma de duas frações simples. Ou seja:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos os termos:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Comparando os coeficientes dos termos correspondentes, temos:
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
E, portanto, .

Passo 6

Agora que encontramos e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Isso simplifica a integral original para:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de é mais a constante de integração. Aplicando isso:
Juntando as duas partes, temos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução da integral é:

Exercícios relacionados

Atividade 2. Calcule:
a) ;
Atividade 4. Calcule:
e) ;
Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
;
Calcule as integrais definidas abaixo: