Use frações parciais para achar a solução das seguintes integrais:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando frações parciais. Esse exercício está no assunto de Cálculo Integral, mais especificamente na técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções racionais. Para isso, vamos precisar decompor a fração
em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Sabemos que
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Então, a fração fica:
Passo 3
Agora, vamos expressar
como a soma de duas frações simples. Ou seja:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos os termos:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes, temos:
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
E, portanto,
.
Passo 6
Agora que encontramos
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Isso simplifica a integral original para:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de
é
mais a constante de integração. Aplicando isso:
Juntando as duas partes, temos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução da integral é:
Exercícios relacionados
Atividade 2. Calcule:
a) ;
a)
Atividade 4. Calcule:
e) ;
e)
Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
;
Calcule as integrais definidas abaixo: