Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse tipo de substituição é útil quando temos expressões que envolvem termos quadráticos, como . Vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração para chegar no resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que se assemelha à identidade . Então, vamos definir:
Com essa substituição, se torna:

Passo 3

Agora, vamos encontrar em termos de :
Substituindo e na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Simplificando ainda mais:

Passo 4

Agora, vamos integrar :
Usando a identidade :
Fazendo a substituição , :
Voltando para a variável original :
Então,
Substituindo:
Simplificando :

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Use frações parciais para achar a solução das seguintes integrais:
;
Atividade 2. Calcule:
a) ;
Calcule as integrais definidas abaixo:
Calcule a área da região finita delimitada pelo grafico da função , pelo eixo e pelas retas e .