Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
integral d xraiz(16+x^2)^5;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse tipo de substituição é útil quando temos expressões que envolvem termos quadráticos, como . Vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração para chegar no resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que x = 4 tantheta se assemelha à identidade 16 + x^2 = 16 + 16 tan^2theta = 16 sec^2theta . Então, vamos definir:
Com essa substituição, se torna:

Passo 3

Agora, vamos encontrar dx = 4 sec^2theta dtheta em termos de integral 4 sec^2theta dthetaraiz(16 sec^2theta)^5 :
(16 sec^2theta)^5 = 16^5 sec^10theta
Substituindo integral 4 sec^2theta dtheta16^52 sec^5theta = integral 4 sec^2theta dtheta16^2.5 sec^5theta e integral 416^2.5 cos^3theta dtheta na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Simplificando ainda mais:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral cos^3theta dtheta = integral cos^2theta costheta dtheta :
integral (1 - sin^2theta) costheta dtheta
Usando a identidade integral (1 - u^2) du = u - u^33 + C = sintheta - sin^3theta3 + C :
sintheta = xraiz16 + x^2
Fazendo a substituição sin^3theta = (xraiz16 + x^2)^3 = x^3(16 + x^2)^1.5 , 416^2.5 ( xraiz16 + x^2 - x^33(16 + x^2)^1.5 ) + C :
41024 ( xraiz16 + x^2 - x^33(16 + x^2)^1.5 ) + C = 1256 ( xraiz16 + x^2 - x^33(16 + x^2)^1.5 ) + C
Voltando para a variável original :
Então,
Substituindo:
Simplificando :

Resposta

A integral 1256 ( xraiz16 + x^2 - x^33(16 + x^2)^1.5 ) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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