Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando substituição trigonométrica. Esse tipo de substituição é útil quando temos expressões que envolvem termos quadráticos, como
. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração para chegar no resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que
se assemelha à identidade
. Então, vamos definir:
Com essa substituição,
se torna:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
em termos de
:
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Simplificando ainda mais:
Passo 4
Agora, vamos integrar
:
Usando a identidade
:
Fazendo a substituição
,
:
Voltando para a variável original
:
Então,
Substituindo:
Simplificando
:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Use frações parciais para achar a solução das seguintes integrais:
;
Atividade 2. Calcule:
a) ;
a)
Calcule as integrais definidas abaixo:
Calcule a área da região finita delimitada pelo grafico da função
, pelo eixo
e pelas retas
e
.