Atividade 2: Obtenha a distância e posição relativa entre a reta r :
llx+2 y-z & =1 2 x-y+z & =-3 e s determinado pelos pontos (2,1,-1) e (-1,-1,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a distância e a posição relativa entre duas retas no espaço. As retas dadas são:
  • Reta x + 2y - z = 1 2x - y + z = -3 definida pelo sistema de equações:
  • Reta que passa pelos pontos e .
Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, como equações paramétricas de retas, vetores diretores e a fórmula para calcular a distância entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação paramétrica da reta x + 2y - z = 1 2x - y + z = -3 . Como a reta (x + 2y - z) + (2x - y + z) = 1 + (-3) 3x + y = -2 está definida por um sistema de duas equações lineares, podemos resolver esse sistema para expressar duas das variáveis em termos da terceira.
Vamos resolver o sistema:
y = -2 - 3x
Podemos, por exemplo, resolver para x = x y = -2 - 3x z = t e x = t y = -2 - 3t z = t em função de r(t) = t -2 - 3t t .
Somando as duas equações:
Agora, expressamos em função de :
Escolhe (um parâmetro qualquer). Então, temos:
Para simplificar, escolhemos , então:
Portanto, a equação paramétrica da reta é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação paramétrica da reta ds = B - A = -1 - 2 -1 - 1 2 - (-1) = -3 -2 3 . A reta s(t) = 2 1 -1 + t -3 -2 3 é determinada pelos pontos x = 2 - 3t y = 1 - 2t z = -1 + 3t e .
Primeiro, encontramos o vetor diretor da reta , que é a diferença entre os pontos e :
Com o ponto e o vetor diretor , a equação paramétrica da reta é:
Isso pode ser escrito componentemente como:

Passo 4

Agora que temos as equações paramétricas das duas retas, precisamos determinar a posição relativa entre elas. Existem três possibilidades:
  1. Retas coincidentes: as duas retas são exatamente a mesma.
  2. Retas paralelas: as retas têm a mesma direção, mas não se intersectam.
  3. Retas concorrentes (interseccionam): as retas se cruzam em um ponto.
  4. Retas seccionadas (skew): as retas não são paralelas e não se interceptam.
Vamos verificar qual dessas situações se aplica às retas 1 -3 1 e -3 -2 3 .
Primeiro, identificamos os vetores diretores:
  • Vetor diretor de -31 = -3, -2-3 = 23, 31 = 3 : derivado da equação paramétrica, é .
  • Vetor diretor de : .
Vamos verificar se os vetores são múltiplos um do outro (para saber se as retas são paralelas).
Calculando as razões:
Como as razões não são iguais, os vetores diretores não são colineares. Portanto, as retas não são paralelas.
Agora, vamos verificar se elas se intersectam.

Passo 5

Para verificar se as retas r(t) = s(u) e t = 2 - 3u -2 - 3t = 1 - 2u t = -1 + 3u se intersectam, precisamos encontrar valores dos parâmetros t = 2 - 3u (1) e t = -1 + 3u (3) tal que:
2 - 3u = -1 + 3u 2 + 1 = 3u + 3u 3 = 6u u = 12
Ou seja:
t = 2 - 3(12) = 2 - 32 = 12
Vamos resolver esse sistema.
Da primeira equação:
-2 - 3(12) = 1 - 2(12) -2 - 32 = 1 - 1 -72 = 0
Da terceira equação:
Igualando (1) e (3):
Agora, substituímos na equação (1):
Agora, verificamos na segunda equação:
Essa igualdade não é verdadeira, o que significa que não existe um ponto comum entre as retas e . Portanto, as retas são seccionadas (skew).

Passo 6

Agora que sabemos que as retas são seccionadas, vamos calcular a distância entre elas. A fórmula para a distância d = |(Ps - Pr) cdot (dr times ds)||dr times ds| entre duas retas seccionadas no espaço é dada por:
Ps - Pr = 2 - 0 1 - (-2) -1 - 0 = 2 3 -1
Onde:
  • dr = 1 -3 1 , ds = -3 -2 3 é o vetor que liga um ponto da reta dr times ds = (-3)(3) - (1)(-2) (1)(-3) - (1)(3) (1)(-2) - (-3)(-3) = -9 + 2 -3 -3 -2 -9 = -7 -6 -11 a um ponto da reta 2 3 -1 cdot -7 -6 -11 = (2)(-7) + (3)(-6) + (-1)(-11) = -14 -18 +11 = -21 .
  • |dr times ds| = raiz(-7)^2 + (-6)^2 + (-11)^2 = raiz49 + 36 + 121 = raiz206 e d = 21raiz206 approx 2114.35 approx 1.46 unidades são os vetores diretores das retas e , respectivamente.
  • representa o produto vetorial.
  • representa o produto escalar.
Vamos calcular passo a passo.
Primeiro, escolhemos um ponto em cada reta:
  • Na reta , pelo parâmetro , temos o ponto .
  • Na reta , o ponto .
Calculamos o vetor :
Agora, calculamos o produto vetorial :
Calculamos agora o produto escalar :
O valor absoluto desse produto é .
Agora, calculamos o módulo do produto vetorial :
Finalmente, a distância é:

Resposta

A distância entre as retas e é aproximadamente 1,46 unidades e as retas são seccionadas (skew), ou seja, não são paralelas nem se interceptam.

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