Verificar para os vetores u=(4,-1,2) e v=(-3,2,-2) as desigualdades
a) |u cdot v| <=|u||v| (Desigualdade de Schwarz)
b) |u+v| <=|u|+|v| (Desigualdade Triangular)

Passo 1

Beleza, então temos dois vetores, u = (4, -1, 2) e v = (-3, 2, -2). O exercício pede para verificar duas desigualdades: a Desigualdade de Schwarz e a Desigualdade Triangular. Para isso, vamos precisar calcular produtos escalares, normas dos vetores e entender como essas desigualdades funcionam na teoria de vetores.

Passo 2

Vamos começar com a Desigualdade de Schwarz:
|u cdot v| <= |u| cdot |v|
Essa desigualdade nos diz que o valor absoluto do produto escalar entre dois vetores é sempre menor ou igual ao produto das normas desses vetores.
Primeiro, vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (4)(-3) + (-1)(2) + (2)(-2) = -12 - 2 - 4 = -18
Então, |u cdot v| = | -18 | = 18.
Agora, vamos encontrar as normas dos vetores u e v. A norma de um vetor a = (a1, a2, a3) é dada por:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Calculando |u|:
|u| = raiz4^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz16 + 1 + 4 = raiz21 approx 4,583
Calculando |v|:
|v| = raiz(-3)^2 + 2^2 + (-2)^2 = raiz9 + 4 + 4 = raiz17 approx 4,123
Multiplicando as normas:
|u| cdot |v| approx 4,583 times 4,123 approx 18,88
Agora, comparando os valores:
18 <= 18,88
A desigualdade de Schwarz é satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar a Desigualdade Triangular:
|u + v| <= |u| + |v|
Essa desigualdade afirma que a norma da soma de dois vetores é menor ou igual à soma das normas dos vetores.
Primeiro, vamos somar os vetores u e v:
u + v = (4 + (-3), -1 + 2, 2 + (-2)) = (1, 1, 0)
Agora, calculando a norma de u + v:
|u + v| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2 approx 1,414
Já sabemos que:
|u| + |v| approx 4,583 + 4,123 = 8,706
Comparando os valores:
1,414 <= 8,706
A desigualdade triangular também é satisfeita.

Resposta

As duas desigualdades estão válidas para os vetores dados. A Desigualdade de Schwarz confirma que |u cdot v| <= |u||v| e a Desigualdade Triangular garante que |u + v| <= |u| + |v|.

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