Verificar para os vetores
e
as desigualdades
a)
(Desigualdade de Schwarz)
b)
(Desigualdade Triangular)
a)
b)
Passo 1
Beleza, então temos dois vetores,
e
. O exercício pede para verificar duas desigualdades: a Desigualdade de Schwarz e a Desigualdade Triangular. Para isso, vamos precisar calcular produtos escalares, normas dos vetores e entender como essas desigualdades funcionam na teoria de vetores.
Passo 2
Vamos começar com a Desigualdade de Schwarz:
Essa desigualdade nos diz que o valor absoluto do produto escalar entre dois vetores é sempre menor ou igual ao produto das normas desses vetores.
Primeiro, vamos calcular o produto escalar
:
Então,
.
Agora, vamos encontrar as normas dos vetores
e
. A norma de um vetor
é dada por:
Calculando
:
Calculando
:
Multiplicando as normas:
Agora, comparando os valores:
A desigualdade de Schwarz é satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar a Desigualdade Triangular:
Essa desigualdade afirma que a norma da soma de dois vetores é menor ou igual à soma das normas dos vetores.
Primeiro, vamos somar os vetores
e
:
Agora, calculando a norma de
:
Já sabemos que:
Comparando os valores:
A desigualdade triangular também é satisfeita.
Resposta
As duas desigualdades estão válidas para os vetores dados. A Desigualdade de Schwarz confirma que
e a Desigualdade Triangular garante que
.