Atividade em Sala 1. Estimando o número de estrelas na Via Láctea. Para obtermos uma estimativa razoável da ordem de grandeza das estrelas presentes no disco interno à órbita do Sol, a partir do modelo acima, precisamos escrever
a partir das equações das forças gravitacional e centrípeta descritas anteriormente. Assim, iguale as mesmas e encontre uma expressão para
que permite calcular a massa aproximada interna à órbita solar. A velocidade de rotação da Galáxia nas proximidades do Sol vale cerca de 220 km/s.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre estimar o número de estrelas na Via Láctea, mais especificamente a massa total das estrelas dentro da órbita do Sol. Para isso, vamos usar conceitos de forças gravitacional e centrípeta. Precisamos igualar essas duas forças para encontrar uma expressão que nos permita calcular a massa aproximada interna à órbita solar. Também vamos usar a velocidade de rotação da Galáxia próxima ao Sol, que é de cerca de 220 km/s.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são as forças gravitacional e centrípeta.
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Força Gravitacional ($ F_g $): É a força que atrai dois corpos um em direção ao outro devido à gravidade. A fórmula é:Onde:
- $ G $ é a constante gravitacional (
), - $ M_G $ é a massa da galáxia interna à órbita do Sol,
- $ m $ é a massa de um objeto (neste caso, uma estrela qualquer),
- $ r $ é a distância do objeto ao centro da galáxia.
- $ G $ é a constante gravitacional (
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Força Centrípeta ($ F_c $): É a força que mantém um corpo em movimento circular, direcionada para o centro da trajetória. A fórmula é:Onde:
- $ V $ é a velocidade de rotação da galáxia.
Passo 3
Como queremos encontrar a massa total $ M_G $ que mantém a estrela na órbita, vamos igualar $ F_g $ e $ F_c $:
Passo 4
Observe que a massa $ m $ da estrela aparece nos dois lados da equação e pode ser cancelada:
Passo 5
Agora, vamos isolar $ M_G $ na equação:
Passo 6
Para calcular $ M_G $, precisamos dos valores de $ V $, $ r $ e $ G $.
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A velocidade $ V $ é dada como 220 km/s. Vamos converter para metros por segundo:
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A distância $ r $ da Terra ao centro da galáxia é aproximadamente 8 kiloparsecs (kpc). Convertendo para metros:
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A constante gravitacional $ G $ é $ 6,674 \times 10^{-11} , N\cdotm2/\text{kg}2 $.
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula de $ M_G $:
Passo 8
Calculando os valores:
Resposta
A massa aproximada interna à órbita solar é de aproximadamente
kg.