Atividade em Sala 1. Estimando o número de estrelas na Via Láctea. Para obtermos uma estimativa razoável da ordem de grandeza das estrelas presentes no disco interno à órbita do Sol, a partir do modelo acima, precisamos escrever MG a partir das equações das forças gravitacional e centrípeta descritas anteriormente. Assim, iguale as mesmas e encontre uma expressão para MG que permite calcular a massa aproximada interna à órbita solar. A velocidade de rotação da Galáxia nas proximidades do Sol vale cerca de 220 km/s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre estimar o número de estrelas na Via Láctea, mais especificamente a massa total das estrelas dentro da órbita do Sol. Para isso, vamos usar conceitos de forças gravitacional e centrípeta. Precisamos igualar essas duas forças para encontrar uma expressão que nos permita calcular a massa aproximada interna à órbita solar. Também vamos usar a velocidade de rotação da Galáxia próxima ao Sol, que é de cerca de 220 km/s.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as forças gravitacional e centrípeta.
  • Força Gravitacional ($ F_g $): É a força que atrai dois corpos um em direção ao outro devido à gravidade. A fórmula é:
    Fg
    Onde:
    • $ G $ é a constante gravitacional ( Fg = G cdot MG cdot mr^2 ),
    • $ M_G $ é a massa da galáxia interna à órbita do Sol,
    • $ m $ é a massa de um objeto (neste caso, uma estrela qualquer),
    • $ r $ é a distância do objeto ao centro da galáxia.
  • Força Centrípeta ($ F_c $): É a força que mantém um corpo em movimento circular, direcionada para o centro da trajetória. A fórmula é:
    G
    Onde:
    • $ V $ é a velocidade de rotação da galáxia.

Passo 3

Como queremos encontrar a massa total $ M_G $ que mantém a estrela na órbita, vamos igualar $ F_g $ e $ F_c $:
MG

Passo 4

Observe que a massa $ m $ da estrela aparece nos dois lados da equação e pode ser cancelada:
m

Passo 5

Agora, vamos isolar $ M_G $ na equação:
MG

Passo 6

Para calcular $ M_G $, precisamos dos valores de $ V $, $ r $ e $ G $.
  • A velocidade $ V $ é dada como 220 km/s. Vamos converter para metros por segundo:
    MG
  • A distância $ r $ da Terra ao centro da galáxia é aproximadamente 8 kiloparsecs (kpc). Convertendo para metros:
    V
    r
  • A constante gravitacional $ G $ é $ 6,674 \times 10^{-11} , N\cdotm2/\text{kg}2 $.

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula de $ M_G $:
MG

Passo 8

Calculando os valores:
(220 times 10^3)^2 = 4,840 times 10^10 , m^2/s^2
MG = 4,840 times 10^10 times 2,469 times 10^206,674 times 10^-11
MG = 1,195 times 10^316,674 times 10^-11
MG approx 1,789 times 10^41 , kg

Resposta

A massa aproximada interna à órbita solar é de aproximadamente 1,789 times 10^41 kg.

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