Atividade em Sala 1. Estimando o número de estrelas na Via Láctea. Para obtermos uma estimativa razoável da ordem de grandeza das estrelas presentes no disco interno à órbita do Sol, a partir do modelo acima, precisamos escrever MG a partir das equações das forças gravitacional e centrípeta descritas anteriormente. Assim, iguale as mesmas e encontre uma expressão para MG que permite calcular a massa aproximada interna à órbita solar. A velocidade de rotação da Galáxia nas proximidades do Sol vale cerca de 220 km/s. A partir do valor obtido acima, expresse quantas massas solar e o número aproximado de estrelas (do tipo Sol) estariam presentes neste modelo simplificado. A massa do Sol vale: 1,9887973 × 10^30 kg. O número obtido será surpreendente. Qual a ordem de grandeza em relação ao catálogo estelar proposto por Hiparco? Lembre-se que o resultado representa um limite inferior, pois estamos considerando apenas a massa interna à órbita do Sol.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos estimar quantas estrelas existem na nossa galáxia, a Via Láctea, dentro da órbita do Sol. Para isso, vamos usar as leis da física que descrevem a força gravitacional e a força centrípeta. Precisamos igualar essas duas forças para encontrar a massa total da galáxia interna à órbita do Sol ( MG). Depois disso, vamos transformar essa massa em número de massas solares e, por fim, estimar quantas estrelas do tipo Sol existem nessa região. Vamos precisar saber a velocidade de rotação da galáxia perto do Sol, que é de cerca de 220 km/s, e a massa do Sol, que é 1,9887973 times 10^30 kg.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos usar. A força gravitacional ( Fg) é dada por:
Fg = G cdot MG cdot mr^2
Onde:
  • G é a constante gravitacional ( 6,674 times 10^-11 Nm^2/kg^2),
  • MG é a massa da galáxia interna à órbita do Sol,
  • m é a massa de um objeto (no caso, podemos considerar a massa do Sol para facilitar),
  • r é a distância até o centro da galáxia (a órbita do Sol, que é cerca de 8 kpc ou 2,5 times 10^20 m).
A força centrípeta ( Fc) necessária para manter o Sol em sua órbita é dada por:
Fc = m cdot v^2r
Onde:
  • v é a velocidade de rotação (220 km/s ou 2,2 times 10^5 m/s).
Como o Sol está em equilíbrio na sua órbita, essas forças são iguais: Fg = Fc.

Passo 3

Vamos igualar as duas forças:
G cdot MG cdot mr^2 = m cdot v^2r
Perceba que a massa m do Sol aparece dos dois lados e pode ser cancelada:
G cdot MGr^2 = v^2r
Agora, vamos resolver para MG:
MG = v^2 cdot rG

Passo 4

Vamos substituir os valores numéricos na equação:
  • v = 2,2 times 10^5 m/s
  • r = 2,5 times 10^20 m
  • G = 6,674 times 10^-11 Nm^2/kg^2
Então:
MG = (2,2 times 10^5)^2 cdot 2,5 times 10^206,674 times 10^-11
Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, calculamos v^2:
(2,2 times 10^5)^2 = 4,84 times 10^10 m^2/s^2
Depois, multiplicamos por r:
4,84 times 10^10 times 2,5 times 10^20 = 1,21 times 10^31 m^3/s^2
Agora, dividimos pelo G:
1,21 times 10^316,674 times 10^-11 approx 1,812 times 10^41 kg

Passo 5

Agora que temos a massa total interna à órbita do Sol ( MG), vamos converter isso para massas solares.
Sabemos que a massa do Sol é 1,9887973 times 10^30 kg. Então:
Número de massas solares = 1,812 times 10^411,9887973 times 10^30 approx 9,11 times 10^10 ú
Então, temos aproximadamente 9,11 times 10^10 massas solares.

Passo 6

Agora, para estimar o número de estrelas do tipo Sol, assumimos que cada estrela tem aproximadamente a massa do Sol. Então, o número de estrelas seria praticamente o mesmo número de massas solares calculado:
Número de estrelas approx 9,11 times 10^10 ú

Passo 7

Finalmente, vamos comparar esse número com o catálogo estelar proposto por Hiparco. O número obtido, 9,11 times 10^10, é um limite inferior porque consideramos apenas a massa interna à órbita do Sol. O catálogo de Hiparco, que é muito antigo, tinha um número bem menor de estrelas catalogadas, algo na ordem de 10^4 a 10^5 estrelas. Portanto, nossa estimativa mostra que a verdadeira quantidade de estrelas na galáxia é muito maior do que o que Hiparco conseguiu catalogar na época.

Resposta

A massa interna à órbita do Sol é aproximadamente 1,81 times 10^41 kg, correspondendo a cerca de 9,11 times 10^10 massas solares. Isso implica que existem aproximadamente 9,11 times 10^10 estrelas do tipo Sol dentro dessa região da Via Láctea, mostrando uma ordem de grandeza muito maior do que o catálogo estelar de Hiparco.

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