Atividade em Sala 1. Estimando o número de estrelas na Via Láctea. Para obtermos uma estimativa razoável da ordem de grandeza das estrelas presentes no disco interno à órbita do Sol, a partir do modelo acima, precisamos escrever
a partir das equações das forças gravitacional e centrípeta descritas anteriormente. Assim, iguale as mesmas e encontre uma expressão para
que permite calcular a massa aproximada interna à órbita solar. A velocidade de rotação da Galáxia nas proximidades do Sol vale cerca de 220 km/s. A partir do valor obtido acima, expresse quantas massas solar e o número aproximado de estrelas (do tipo Sol) estariam presentes neste modelo simplificado. A massa do Sol vale: 1,9887973 ×
. O número obtido será surpreendente. Qual a ordem de grandeza em relação ao catálogo estelar proposto por Hiparco? Lembre-se que o resultado representa um limite inferior, pois estamos considerando apenas a massa interna à órbita do Sol.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos estimar quantas estrelas existem na nossa galáxia, a Via Láctea, dentro da órbita do Sol. Para isso, vamos usar as leis da física que descrevem a força gravitacional e a força centrípeta. Precisamos igualar essas duas forças para encontrar a massa total da galáxia interna à órbita do Sol (
). Depois disso, vamos transformar essa massa em número de massas solares e, por fim, estimar quantas estrelas do tipo Sol existem nessa região. Vamos precisar saber a velocidade de rotação da galáxia perto do Sol, que é de cerca de 220 km/s, e a massa do Sol, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos usar. A força gravitacional (
) é dada por:
Onde:
-
é a constante gravitacional ( ), -
é a massa da galáxia interna à órbita do Sol, -
é a massa de um objeto (no caso, podemos considerar a massa do Sol para facilitar), -
é a distância até o centro da galáxia (a órbita do Sol, que é cerca de 8 kpc ou ).
A força centrípeta (
) necessária para manter o Sol em sua órbita é dada por:
Onde:
-
é a velocidade de rotação (220 km/s ou ).
Como o Sol está em equilíbrio na sua órbita, essas forças são iguais:
.
Passo 3
Vamos igualar as duas forças:
Perceba que a massa
do Sol aparece dos dois lados e pode ser cancelada:
Agora, vamos resolver para
:
Passo 4
Vamos substituir os valores numéricos na equação:
Então:
Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, calculamos
:
Depois, multiplicamos por
:
Agora, dividimos pelo
:
Passo 5
Agora que temos a massa total interna à órbita do Sol (
), vamos converter isso para massas solares.
Sabemos que a massa do Sol é
. Então:
Então, temos aproximadamente
massas solares.
Passo 6
Agora, para estimar o número de estrelas do tipo Sol, assumimos que cada estrela tem aproximadamente a massa do Sol. Então, o número de estrelas seria praticamente o mesmo número de massas solares calculado:
Passo 7
Finalmente, vamos comparar esse número com o catálogo estelar proposto por Hiparco. O número obtido,
, é um limite inferior porque consideramos apenas a massa interna à órbita do Sol. O catálogo de Hiparco, que é muito antigo, tinha um número bem menor de estrelas catalogadas, algo na ordem de
a
estrelas. Portanto, nossa estimativa mostra que a verdadeira quantidade de estrelas na galáxia é muito maior do que o que Hiparco conseguiu catalogar na época.
Resposta
A massa interna à órbita do Sol é aproximadamente
, correspondendo a cerca de
massas solares. Isso implica que existem aproximadamente
estrelas do tipo Sol dentro dessa região da Via Láctea, mostrando uma ordem de grandeza muito maior do que o catálogo estelar de Hiparco.