Um projétil é lançado para cima, com velocidade de
, do topo de um edifício cuja altura é 120 m . Considerando
, determinar: (a) A altura máxima do projétil acima da rua; (b) O tempo necessário para atingir essa altura; © A velocidade ao atingir a rua; (d) O tempo total decorrido do instante do lançamento até o momento em que ele atinge o solo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um projétil lançado pra cima com uma velocidade inicial de
do topo de um prédio que tem
. A gente vai precisar usar as equações do movimento uniformemente variado, focando naquilo que envolve aceleração da gravidade (
). Vamos descobrir a altura máxima, o tempo pra chegar lá, a velocidade quando volta pra rua e o tempo total até cair no chão.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a altura máxima que o projétil alcança acima da rua. Para isso, vamos usar a equação que relaciona a velocidade final, a velocidade inicial, a aceleração e a distância:
Aqui, a velocidade final (
) no ponto mais alto é
porque o projétil para momentaneamente antes de começar a descer. A velocidade inicial (
) é
, e a aceleração (
) é
(negativa porque a gravidade está contra o movimento).
Rearranjando a fórmula para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a altura máxima total acima da rua. Já sabemos que o projétil sobe
a partir do topo do prédio, que tem
. Então:
Passo 4
Vamos determinar o tempo necessário para o projétil atingir essa altura máxima. Usamos a equação que relaciona velocidade, velocidade inicial, aceleração e tempo:
Sabemos que no ponto mais alto,
,
, e
. Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a velocidade do projétil quando ele atinge a rua novamente. Podemos usar a equação da velocidade considerando toda a trajetória, tanto para cima quanto para baixo. A velocidade final ao retornar ao ponto de lançamento (topo do prédio) será igual à velocidade inicial, mas no sentido contrário:
Mas precisamos considerar que ele cai do topo do prédio, então a velocidade ao atingir a rua será essa velocidade mais o que ocorre devido à queda dos
. Usamos a mesma equação de antes:
Para a queda dos
:
Como está descendo, a velocidade é negativa:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular o tempo total desde o lançamento até o projétil atingir o solo. Esse tempo é o dobro do tempo para atingir a altura máxima (subida e descida até o topo do prédio) mais o tempo para descer os
.
Primeiro, o tempo para subir e descer até o topo do prédio é
de subida e
de descida, totalizando
.
Agora, vamos calcular o tempo para cair dos
:
Usamos a equação:
Aqui,
,
, e
:
Então, o tempo total é:
Resposta
(a) A altura máxima acima da rua é
.
(b) O tempo necessário para atingir essa altura é
.
© A velocidade ao atingir a rua é aproximadamente
.
(d) O tempo total decorrido até o projétil atingir o solo é aproximadamente
.