Um projétil é lançado para cima, com velocidade de 100 m / s, do topo de um edifício cuja altura é 120 m . Considerando g=10 m / s^2, determinar: (a) A altura máxima do projétil acima da rua; (b) O tempo necessário para atingir essa altura; © A velocidade ao atingir a rua; (d) O tempo total decorrido do instante do lançamento até o momento em que ele atinge o solo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um projétil lançado pra cima com uma velocidade inicial de 100 , m/s do topo de um prédio que tem 120 , m. A gente vai precisar usar as equações do movimento uniformemente variado, focando naquilo que envolve aceleração da gravidade ( g = 10 , m/s^2). Vamos descobrir a altura máxima, o tempo pra chegar lá, a velocidade quando volta pra rua e o tempo total até cair no chão.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a altura máxima que o projétil alcança acima da rua. Para isso, vamos usar a equação que relaciona a velocidade final, a velocidade inicial, a aceleração e a distância:
v^2 = v0^2 + 2a De
Aqui, a velocidade final ( v) no ponto mais alto é 0 , m/s porque o projétil para momentaneamente antes de começar a descer. A velocidade inicial ( v0) é 100 , m/s, e a aceleração ( a) é -g = -10 , m/s^2 (negativa porque a gravidade está contra o movimento).
Rearranjando a fórmula para De:
0 = (100)^2 + 2(-10) De
0 = 10000 - 20 De
20 De
De

Passo 3

Agora, vamos calcular a altura máxima total acima da rua. Já sabemos que o projétil sobe 500 , m a partir do topo do prédio, que tem 120 , m. Então:
Aá

Passo 4

Vamos determinar o tempo necessário para o projétil atingir essa altura máxima. Usamos a equação que relaciona velocidade, velocidade inicial, aceleração e tempo:
v = v0 + a t
Sabemos que no ponto mais alto, v = 0 , m/s, v0 = 100 , m/s, e a = -10 , m/s^2. Substituindo:
0 = 100 - 10 t
10 t = 100
t = 10010 = 10 , s

Passo 5

Agora, vamos encontrar a velocidade do projétil quando ele atinge a rua novamente. Podemos usar a equação da velocidade considerando toda a trajetória, tanto para cima quanto para baixo. A velocidade final ao retornar ao ponto de lançamento (topo do prédio) será igual à velocidade inicial, mas no sentido contrário:
v = -v0 = -100 , m/s
Mas precisamos considerar que ele cai do topo do prédio, então a velocidade ao atingir a rua será essa velocidade mais o que ocorre devido à queda dos 120 , m. Usamos a mesma equação de antes:
v^2 = v0^2 + 2a De
Para a queda dos 120 , m:
v^2 = (-100)^2 + 2(10)(120)
v^2 = 10000 + 2400 = 12400
v = raiz12400 approx 111.36 , m/s
Como está descendo, a velocidade é negativa:
v approx -111.36 , m/s

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o tempo total desde o lançamento até o projétil atingir o solo. Esse tempo é o dobro do tempo para atingir a altura máxima (subida e descida até o topo do prédio) mais o tempo para descer os 120 , m.
Primeiro, o tempo para subir e descer até o topo do prédio é 10 , s de subida e 10 , s de descida, totalizando 20 , s.
Agora, vamos calcular o tempo para cair dos 120 , m:
Usamos a equação:
De
Aqui, v0 = 0 , m/s, a = 10 , m/s^2, e De:
120 = 0 + 12 cdot 10 cdot t^2
120 = 5 t^2
t^2 = 1205 = 24
t = raiz24 approx 4.90 , s
Então, o tempo total é:
20 , s + 4.90 , s approx 24.90 , s

Resposta

(a) A altura máxima acima da rua é 620 , m.
(b) O tempo necessário para atingir essa altura é 10 , s.
© A velocidade ao atingir a rua é aproximadamente -111.36 , m/s.
(d) O tempo total decorrido até o projétil atingir o solo é aproximadamente 24.90 , s.

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