Seja um corpo em uma mola, com uma posição dada por x=5 cos (9 t). © Qual é a aceleração máxima do corpo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá a posição de um corpo ligado a uma mola, descrita pela equação . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a aceleração máxima que esse corpo atinge.
Matéria envolvida: Movimento Harmônico Simples (MHS).
O que vamos precisar: Saber como derivar funções para encontrar velocidade e aceleração, e entender que a aceleração máxima ocorre quando a função cosseno atinge seus valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a posição v(t) = dxdt = -5 times 9 sin(9t) = -45 sin(9t) em função do tempo nos dá informações sobre onde o corpo está em cada momento. Para encontrar a velocidade, que é a primeira derivada da posição em relação ao tempo, derivamos a função .
Derivação da posição para encontrar a velocidade:
Aqui, usamos a regra da derivada do cosseno: .

Passo 3

Agora que temos a velocidade, vamos derivar novamente para encontrar a aceleração, que é a segunda derivada da posição em relação ao tempo ou a primeira derivada da velocidade.
Derivação da velocidade para encontrar a aceleração:
a(t) = dvdt = -45 times 9 cos(9t) = -405 cos(9t)
Usamos novamente a regra da derivada do seno: .

Passo 4

Para achar a aceleração máxima, observamos que a função cosseno varia entre -1 e 1. Isso significa que o valor absoluto da aceleração será máximo quando |amáx| = 405 times | cos(9t) |máx = 405 times 1 = 405 .
Calculando a aceleração máxima:
áá

Resposta

A aceleração máxima do corpo é unidades de aceleração.

Exercícios relacionados