Seja um corpo em uma mola, com uma posição dada por
. © Qual é a aceleração máxima do corpo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá a posição de um corpo ligado a uma mola, descrita pela equação
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a aceleração máxima que esse corpo atinge.
Matéria envolvida: Movimento Harmônico Simples (MHS).
O que vamos precisar: Saber como derivar funções para encontrar velocidade e aceleração, e entender que a aceleração máxima ocorre quando a função cosseno atinge seus valores extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a posição
em função do tempo
nos dá informações sobre onde o corpo está em cada momento. Para encontrar a velocidade, que é a primeira derivada da posição em relação ao tempo, derivamos a função
.
Derivação da posição para encontrar a velocidade:
Aqui, usamos a regra da derivada do cosseno:
.
Passo 3
Agora que temos a velocidade, vamos derivar novamente para encontrar a aceleração, que é a segunda derivada da posição em relação ao tempo ou a primeira derivada da velocidade.
Derivação da velocidade para encontrar a aceleração:
Usamos novamente a regra da derivada do seno:
.
Passo 4
Para achar a aceleração máxima, observamos que a função cosseno varia entre -1 e 1. Isso significa que o valor absoluto da aceleração será máximo quando
.
Calculando a aceleração máxima:
Resposta
A aceleração máxima do corpo é
unidades de aceleração.