Seja M a massa de um foguete e v a sua velocidade em um certo instante de tempo t. Considere que a velocidade u dos gases ejetados com relação ao foguete seja constante. Escreva a segunda Lei de Newton para o foguete. Considere que o foguete é lançado verticalmente e que a aceleração da gravidade, g, seja constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente escrever a segunda Lei de Newton aplicada a um foguete que está sendo lançado verticalmente. Estamos falando de dinâmica de foguetes, que envolve conceitos de força, massa variável e aceleração. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como a Segunda Lei de Newton funciona e como aplicá-la a um sistema onde a massa está mudando, como é o caso de um foguete que está ejetando gases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Segunda Lei de Newton, que basicamente diz que a força resultante (F) é igual à massa (M) multiplicada pela aceleração (a):
No caso do foguete, a massa não é constante porque ele está liberando massa na forma de gases.
Passo 3
Quando a massa de um objeto está mudando com o tempo, precisamos usar a forma derivada da segunda lei:
Aqui,
representa a taxa de variação do momento do foguete.
Passo 4
Vamos expandir essa derivada usando a regra do produto:
Onde:
-
é a aceleração do foguete. -
é a taxa de variação da massa do foguete (que é negativa porque a massa está diminuindo).
Passo 5
No caso do foguete, a força resultante
é a soma das forças atuantes: a força de empuxo dos gases (
) para cima e a força da gravidade (
) para baixo. Então:
Sabemos que:
- A força de empuxo (
) é igual a , onde é a velocidade dos gases ejetados. - A força da gravidade (
) é .
Passo 6
Substituindo essas expressões na equação da força resultante:
E igualando isso à expressão da segunda lei:
Passo 7
Assumindo que a velocidade dos gases
é constante e que a velocidade
do foguete é independente da massa dos gases ejetados, podemos simplificar a equação:
Ou rearranjando:
Resposta
A segunda Lei de Newton para o foguete lançado verticalmente é: