Seja M a massa de um foguete e v a sua velocidade em um certo instante de tempo t. Considere que a velocidade u dos gases ejetados com relação ao foguete seja constante. Escreva a segunda Lei de Newton para o foguete. Considere que o foguete é lançado verticalmente e que a aceleração da gravidade, g, seja constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente escrever a segunda Lei de Newton aplicada a um foguete que está sendo lançado verticalmente. Estamos falando de dinâmica de foguetes, que envolve conceitos de força, massa variável e aceleração. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como a Segunda Lei de Newton funciona e como aplicá-la a um sistema onde a massa está mudando, como é o caso de um foguete que está ejetando gases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Segunda Lei de Newton, que basicamente diz que a força resultante (F) é igual à massa (M) multiplicada pela aceleração (a):
F = M cdot a
No caso do foguete, a massa não é constante porque ele está liberando massa na forma de gases.

Passo 3

Quando a massa de um objeto está mudando com o tempo, precisamos usar a forma derivada da segunda lei:
F = ddt(M cdot v)
Aqui, representa a taxa de variação do momento do foguete.

Passo 4

Vamos expandir essa derivada usando a regra do produto:
F = M cdot dvdt + v cdot dMdt
Onde:
  • é a aceleração do foguete.
  • é a taxa de variação da massa do foguete (que é negativa porque a massa está diminuindo).

Passo 5

No caso do foguete, a força resultante F = Fe - Fg é a soma das forças atuantes: a força de empuxo dos gases ( ) para cima e a força da gravidade ( ) para baixo. Então:
Sabemos que:
  • A força de empuxo ( ) é igual a , onde é a velocidade dos gases ejetados.
  • A força da gravidade ( ) é .

Passo 6

Substituindo essas expressões na equação da força resultante:
Fe - Fg = u cdot dMdt - M cdot g
E igualando isso à expressão da segunda lei:
M cdot dvdt + v cdot dMdt = u cdot dMdt - M cdot g

Passo 7

Assumindo que a velocidade dos gases M cdot dvdt = u cdot dMdt - M cdot g é constante e que a velocidade M cdot dvdt = - u cdot dMdt - M cdot g do foguete é independente da massa dos gases ejetados, podemos simplificar a equação:
Ou rearranjando:

Resposta

A segunda Lei de Newton para o foguete lançado verticalmente é:
M cdot dvdt = - u cdot dMdt - M cdot g

Exercícios relacionados