Um átomo de hidrogênio em repouso no laboratório emite radiação Hbeta da série de Lyman. No modelo de Bohr, esta linha do espectro está associada a uma transição do estado n=3 para o estado fundamental. Calcule a energia cinética de recuo do átomo. (Dica: aproxime a massa do átomo pela massa do próton).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um átomo de hidrogênio que está em repouso no laboratório e emite uma radiação chamada Hbeta da série de Lyman. No modelo de Bohr, essa emissão acontece quando o elétron faz uma transição do estado energético n=3 para o estado fundamental n=1. Nosso objetivo aqui é calcular a energia cinética de recuo desse átomo após a emissão da radiação. Para simplificar, vamos considerar que a massa do átomo é aproximadamente igual à massa do próton.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quanto de energia está sendo emitida nessa transição. No modelo de Bohr, a energia dos níveis é dada pela fórmula:
En = -13,6, eVn^2
Onde En é a energia do nível n. Então, a energia liberada na transição de n=3 para n=1 é:
De
A energia é emitida na forma de um fóton, então a energia do fóton é 12,09, eV.

Passo 3

Agora, vamos considerar a conservação de momento. Quando o átomo emite um fóton, ele sofre um recuo para manter o momento total constante. O momento do fóton ( pfótonó) é dado por:
pfóton = Efótonc óó
Onde c é a velocidade da luz, aproximadamente 3 times 10^8, m/s. Convertendo a energia do fóton para Joules:
12,09, eV times 1,602 times 10^-19, J/eV = 1,936 times 10^-18, J
Então,
pfóton = 1,936 times 10^-18, J3 times 10^8, m/s = 6,453 times 10^-27, kg·m/s ó

Passo 4

Pelo princípio da conservação do momento, o momento do átomo após a emissão ( pátomoá) será igual ao momento do fóton, mas na direção oposta:
pátomo = pfóton = 6,453 times 10^-27, kg·m/s áó
A massa do átomo é aproximadamente a massa do próton, que é 1,673 times 10^-27, kg. A velocidade de recuo ( v) do átomo é então:
v = pátomom = 6,453 times 10^-27, kg·m/s1,673 times 10^-27, kg = 3,85, m/s á

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia cinética de recuo ( K) do átomo usando a fórmula da energia cinética:
K = 12 m v^2
Substituindo os valores:
K = 12 times 1,673 times 10^-27, kg times (3,85, m/s)^2
K = 0,5 times 1,673 times 10^-27, kg times 14,82, m^2/s^2
K = 1,24 times 10^-26, J
Convertendo para electronvolts:
1,24 times 10^-26, J div 1,602 times 10^-19, J/eV approx 7,73 times 10^-8, eV

Resposta

A energia cinética de recuo do átomo é aproximadamente 7,73 times 10^-8, eV.

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