Um átomo de hidrogênio em repouso no laboratório emite radiação da série de Lyman. No modelo de Bohr, esta linha do espectro está associada a uma transição do estado para o estado fundamental. Calcule a energia cinética de recuo do átomo. (Dica: aproxime a massa do átomo pela massa do próton).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um átomo de hidrogênio que está em repouso no laboratório e emite uma radiação chamada da série de Lyman. No modelo de Bohr, essa emissão acontece quando o elétron faz uma transição do estado energético para o estado fundamental . Nosso objetivo aqui é calcular a energia cinética de recuo desse átomo após a emissão da radiação. Para simplificar, vamos considerar que a massa do átomo é aproximadamente igual à massa do próton.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quanto de energia está sendo emitida nessa transição. No modelo de Bohr, a energia dos níveis é dada pela fórmula:
Onde é a energia do nível . Então, a energia liberada na transição de para é:
A energia é emitida na forma de um fóton, então a energia do fóton é .

Passo 3

Agora, vamos considerar a conservação de momento. Quando o átomo emite um fóton, ele sofre um recuo para manter o momento total constante. O momento do fóton ( ó) é dado por:
óó
Onde é a velocidade da luz, aproximadamente . Convertendo a energia do fóton para Joules:
Então,
ó

Passo 4

Pelo princípio da conservação do momento, o momento do átomo após a emissão ( á) será igual ao momento do fóton, mas na direção oposta:
áó
A massa do átomo é aproximadamente a massa do próton, que é . A velocidade de recuo ( ) do átomo é então:
á

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia cinética de recuo ( ) do átomo usando a fórmula da energia cinética:
Substituindo os valores:
Convertendo para electronvolts:

Resposta

A energia cinética de recuo do átomo é aproximadamente .

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