Uma partícula de massa m está no estado
Psi(x, t)=A e^-omega2[(m x^2 / hbar)+i t],
em que A e omega são constantes reais e positivas. Esta função de onda é solução da equação de Schrödinger unidimensional para o potencial V(x)=12 m omega^2 x^2.
Calcule o valor médio da energia neste estado. Use que lang<= Erang<==lang<= p^2rang<=2 m+lang<= V(x)rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com massa Psi(x, t)=A e^-omega2[(m x^2hbar)+i t], que está em um estado quântico descrito pela função de onda:
lang<= E rang<= = lang<= p^2 rang<=2 m + lang<= V(x) rang<=
Aqui, e são constantes reais e positivas. Essa função de onda é uma solução da equação de Schrödinger para um potencial harmônico . O que precisamos fazer é calcular o valor médio da energia nesse estado usando a fórmula:
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor médio da energia é a média esperada da energia total da partícula no estado dado. Ele é composto pela energia cinética média e pela energia potencial média .
Para começar, precisamos encontrar e .

Passo 3

Vamos calcular V(x) = 12 m omega^2 x^2 primeiro. A energia potencial é dada por:
lang<= V(x) rang<= = integral-infty^infty Psi^*(x, t) V(x) Psi(x, t) dx
O valor médio Psi^*(x, t) = A e^-omega2(m x^2hbar - i t) é calculado como:
Onde é o conjugado complexo de . Mas, como e são reais, o conjugado fica:

Passo 4

Multiplicando Psi^*(x, t) Psi(x, t) = A^2 e^-omega m x^2hbar e^0 = A^2 e^-omega m x^2hbar por lang<= V(x) rang<= = A^2 integral-infty^infty 12 m omega^2 x^2 e^-omega m x^2hbar dx :
Agora, a integral para fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, reconhecemos que é da forma de uma integral gaussiana com um fator integral-infty^infty x^2 e^-a x^2 dx = raizpi2 a^3/2 . Sabemos que:
lang<= V(x) rang<= = 12 m omega^2 A^2 cdot raizpi2 (hbaromega m)^3/2
Aqui, . Portanto:

Passo 6

Simplificando a expressão:
lang<= V(x) rang<= = 12 m omega^2 A^2 cdot raizpi2 cdot (hbar^3/2omega^3/2 m^3/2)
= raizpi4 A^2 m omega^2 hbar^3/2omega^3/2 m^3/2
= raizpi4 A^2 hbar^3/2 omega^1/2m^1/2

Passo 7

Agora, precisamos determinar o valor de integral-infty^infty Psi^*(x, t) Psi(x, t) dx = 1 . Sabemos que a função de onda deve ser normalizada, ou seja:
A^2 integral-infty^infty e^-omega m x^2hbar dx = 1
Usando o que calculamos antes:
integral-infty^infty e^-a x^2 dx = raizpia
A integral é:
A^2 raizpi hbaromega m = 1 implies A = (omega mpi hbar)^1/4
Com , temos:

Passo 8

Substituindo lang<= V(x) rang<= = raizpi4 (omega mpi hbar)^1/2 hbar^3/2 omega^1/2m^1/2 = hbar omega4 na expressão de :

Passo 9

Agora, vamos calcular lang<= p^2 rang<= = m^2 omega^2 lang<= x^2 rang<= . Sabemos que, para um oscilador harmônico, a relação entre lang<= E rang<= = hbar omega2 e lang<= p^2 rang<=2 m + hbar omega4 = hbar omega2 é dada por:
Mas também sabemos que, para o estado fundamental do oscilador harmônico:
E como , substituindo :

Passo 10

Isolando lang<= p^2 rang<=2 m = hbar omega2 - hbar omega4 = hbar omega4 :
lang<= p^2 rang<= = hbar omega m2
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

O valor médio da energia no estado dado é:
lang<= E rang<= = hbar omega2

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