Uma partícula de massa m está no estado
em que
e
são constantes reais e positivas. Esta função de onda é solução da equação de Schrödinger unidimensional para o potencial
.
Calcule o valor médio da energia neste estado. Use que
.
Calcule o valor médio da energia neste estado. Use que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com massa
que está em um estado quântico descrito pela função de onda:
Aqui,
e
são constantes reais e positivas. Essa função de onda é uma solução da equação de Schrödinger para um potencial harmônico
. O que precisamos fazer é calcular o valor médio da energia nesse estado usando a fórmula:
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor médio da energia
é a média esperada da energia total da partícula no estado dado. Ele é composto pela energia cinética média
e pela energia potencial média
.
Para começar, precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos calcular
primeiro. A energia potencial é dada por:
O valor médio
é calculado como:
Onde
é o conjugado complexo de
. Mas, como
e
são reais, o conjugado fica:
Passo 4
Multiplicando
por
:
Agora, a integral para
fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, reconhecemos que é da forma de uma integral gaussiana com um fator
. Sabemos que:
Aqui,
. Portanto:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Agora, precisamos determinar o valor de
. Sabemos que a função de onda deve ser normalizada, ou seja:
Usando o que calculamos antes:
A integral é:
Com
, temos:
Passo 8
Substituindo
na expressão de
:
Passo 9
Agora, vamos calcular
. Sabemos que, para um oscilador harmônico, a relação entre
e
é dada por:
Mas também sabemos que, para o estado fundamental do oscilador harmônico:
E como
, substituindo
:
Passo 10
Isolando
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
O valor médio da energia no estado dado é: