Uma partícula de massa m está no estado
em que e são constantes reais e positivas. Esta função de onda é solução da equação de Schrödinger unidimensional para o potencial .
Calcule o valor médio da energia neste estado. Use que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com massa que está em um estado quântico descrito pela função de onda:
Aqui, e são constantes reais e positivas. Essa função de onda é uma solução da equação de Schrödinger para um potencial harmônico . O que precisamos fazer é calcular o valor médio da energia nesse estado usando a fórmula:
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor médio da energia é a média esperada da energia total da partícula no estado dado. Ele é composto pela energia cinética média e pela energia potencial média .
Para começar, precisamos encontrar e .

Passo 3

Vamos calcular primeiro. A energia potencial é dada por:
O valor médio é calculado como:
Onde é o conjugado complexo de . Mas, como e são reais, o conjugado fica:

Passo 4

Multiplicando por :
Agora, a integral para fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, reconhecemos que é da forma de uma integral gaussiana com um fator . Sabemos que:
Aqui, . Portanto:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Passo 7

Agora, precisamos determinar o valor de . Sabemos que a função de onda deve ser normalizada, ou seja:
Usando o que calculamos antes:
A integral é:
Com , temos:

Passo 8

Substituindo na expressão de :

Passo 9

Agora, vamos calcular . Sabemos que, para um oscilador harmônico, a relação entre e é dada por:
Mas também sabemos que, para o estado fundamental do oscilador harmônico:
E como , substituindo :

Passo 10

Isolando :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

O valor médio da energia no estado dado é:

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