Uma partícula de massa m está no estado
Psi(x, t)=A e^-omega2[(m x^2 / hbar)+i t],
em que A e omega são constantes reais e positivas. Esta função de onda é solução da equação de Schrödinger unidimensional para o potencial V(x)=12 m omega^2 x^2.
(a) Normalize Psi(x, t), ou seja, encontre o valor de A impondo que integral-infty^infty Psi^*(x, t) Psi(x, t) d x=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda que descreve o estado de uma partícula com massa num potencial harmônico . O objetivo aqui é normalizar essa função de onda, ou seja, encontrar o valor da constante de modo que a integral de de a seja igual a 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre funções de onda e normalização, além de resolver integrais de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de onda e sua conjugada complexa. A função dada é:
Psi(x, t) = A e^-omega2[(m x^2hbar) + i t]
A conjugada complexa Psi^*(x, t) = A e^-omega2[(m x^2hbar) - i t] é obtida trocando por :

Passo 3

Agora, vamos calcular Psi^*(x, t) Psi(x, t) = A^2 e^-omega2[(m x^2hbar) - i t] cdot e^-omega2[(m x^2hbar) + i t] :
Psi^*(x, t) Psi(x, t) = A^2 e^-omega2 cdot 2 (m x^2hbar) = A^2 e^-omega m x^2hbar
Simplificando os expoentes:

Passo 4

A condição de normalização é que a integral de integral-infty^infty Psi^*(x, t) Psi(x, t) , dx = 1 de A^2 integral-infty^infty e^-omega m x^2hbar , dx = 1 a seja igual a 1:
Substituindo o que encontramos:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral-infty^infty e^-a x^2 , dx = raizpia , onde A^2 raizpi hbaromega m = 1 . Sabemos que:
Então, substituindo :

Passo 6

Agora, isolamos A^2 = 1raizpi hbaromega m = raizomega mpi hbar :
A = (omega mpi hbar)^14
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Resposta

O valor da constante A = (omega mpi hbar)^14 que normaliza a função de onda é:

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