Uma partícula de massa m está no estado
em que
e
são constantes reais e positivas. Esta função de onda é solução da equação de Schrödinger unidimensional para o potencial
.
(a) Normalize
, ou seja, encontre o valor de
impondo que
.
(a) Normalize
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda
que descreve o estado de uma partícula com massa
num potencial harmônico
. O objetivo aqui é normalizar essa função de onda, ou seja, encontrar o valor da constante
de modo que a integral de
de
a
seja igual a 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre funções de onda e normalização, além de resolver integrais de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função de onda e sua conjugada complexa. A função dada é:
A conjugada complexa
é obtida trocando
por
:
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Simplificando os expoentes:
Passo 4
A condição de normalização é que a integral de
de
a
seja igual a 1:
Substituindo o que encontramos:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral
, onde
. Sabemos que:
Então, substituindo
:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
O valor da constante
que normaliza a função de onda é: