Uma partícula de massa m está no estado
em que e são constantes reais e positivas. Esta função de onda é solução da equação de Schrödinger unidimensional para o potencial .
(a) Normalize , ou seja, encontre o valor de impondo que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda que descreve o estado de uma partícula com massa num potencial harmônico . O objetivo aqui é normalizar essa função de onda, ou seja, encontrar o valor da constante de modo que a integral de de a seja igual a 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre funções de onda e normalização, além de resolver integrais de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de onda e sua conjugada complexa. A função dada é:
A conjugada complexa é obtida trocando por :

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Simplificando os expoentes:

Passo 4

A condição de normalização é que a integral de de a seja igual a 1:
Substituindo o que encontramos:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral , onde . Sabemos que:
Então, substituindo :

Passo 6

Agora, isolamos :
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Resposta

O valor da constante que normaliza a função de onda é:

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em que e são constantes reais e positivas. Esta função de onda é solução da equação de Schrödinger unidimensional para o potencial .
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