Um elétron está confinado em uma caixa unidimensional de comprimento . Considerando que dentro da caixa a energia potencial é nula, calcule o valor mínino da energia cinética média do elétron e a correspondente velocidade média.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um elétron preso numa “caixinha” unidimensional com comprimento de (é uma unidade muito pequena, igual a metros). A energia potencial dentro da caixa é zero, então nossa missão é descobrir qual é a energia cinética mínima que esse elétron pode ter e qual seria a velocidade média correspondente. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em uma caixa (ou poço infinito).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, na mecânica quântica, a energia de uma partícula confinado numa caixa depende do tamanho da caixa e do número quântico que indica o estado de energia da partícula. A fórmula para a energia dos estados permitidos é:
Aqui:
  • é a energia no nível ,
  • é o número quântico (1, 2, 3, …),
  • é a constante de Planck reduzida ( ),
  • é a massa do elétron ( ),
  • é o comprimento da caixa.

Passo 3

Como queremos a energia mínima, vamos considerar o estado fundamental, ou seja, . Substituindo na fórmula:
Vamos calcular esse valor usando .

Passo 4

Vamos inserir os valores na equação:
Calculando os termos:

Passo 5

Agora, para achar a velocidade média correspondente, podemos usar a relação clássica entre energia cinética e velocidade:
Vamos isolar :

Passo 6

Substituindo e :

Resposta

A energia cinética mínima média do elétron é aproximadamente e a velocidade média correspondente é cerca de .

Exercícios relacionados

Uma amostra de ar de 1,00 mol (um gás ideal diatômico) a 300 K , confinada em um cilindro sob um pistão pesado, ocupa um volume de 5,00 L. Determine o volume final do gás depois que de energia são transferidos para o ar por calor.
Encontre o valor médio de v, usando a distribuição de velocidades de Maxwell.
Um átomo de hidrogênio em repouso no laboratório emite radiação da série de Lyman. No modelo de Bohr, esta linha do espectro está associada a uma transição do estado para o estado fundamental. Calcule a energia cinética de recuo do átomo. (Dica: aproxime a massa do átomo pela massa do próton).
Uma partícula de massa m está no estado
em que e são constantes reais e positivas. Esta função de onda é solução da equação de Schrödinger unidimensional para o potencial .
(a) Normalize , ou seja, encontre o valor de impondo que .