Um elétron está confinado em uma caixa unidimensional de comprimento
. Considerando que dentro da caixa a energia potencial é nula, calcule o valor mínino da energia cinética média do elétron e a correspondente velocidade média.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um elétron preso numa “caixinha” unidimensional com comprimento de
(é uma unidade muito pequena, igual a
metros). A energia potencial dentro da caixa é zero, então nossa missão é descobrir qual é a energia cinética mínima que esse elétron pode ter e qual seria a velocidade média correspondente. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em uma caixa (ou poço infinito).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, na mecânica quântica, a energia de uma partícula confinado numa caixa depende do tamanho da caixa e do número quântico que indica o estado de energia da partícula. A fórmula para a energia dos estados permitidos é:
Aqui:
-
é a energia no nível , -
é o número quântico (1, 2, 3, …), -
é a constante de Planck reduzida ( ), -
é a massa do elétron ( ), -
é o comprimento da caixa.
Passo 3
Como queremos a energia mínima, vamos considerar o estado fundamental, ou seja,
. Substituindo na fórmula:
Vamos calcular esse valor usando
.
Passo 4
Vamos inserir os valores na equação:
Calculando os termos:
Passo 5
Agora, para achar a velocidade média correspondente, podemos usar a relação clássica entre energia cinética e velocidade:
Vamos isolar
:
Passo 6
Substituindo
e
:
Resposta
A energia cinética mínima média do elétron é aproximadamente
e a velocidade média correspondente é cerca de
.
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em que
e
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.
(a) Normalize , ou seja, encontre o valor de
impondo que
.
(a) Normalize