Um elétron está confinado em uma caixa unidimensional de comprimento 1 AA. Considerando que dentro da caixa a energia potencial é nula, calcule o valor mínino da energia cinética média do elétron e a correspondente velocidade média.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um elétron preso numa “caixinha” unidimensional com comprimento de 1 AA (é uma unidade muito pequena, igual a 10^-10 metros). A energia potencial dentro da caixa é zero, então nossa missão é descobrir qual é a energia cinética mínima que esse elétron pode ter e qual seria a velocidade média correspondente. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em uma caixa (ou poço infinito).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, na mecânica quântica, a energia de uma partícula confinado numa caixa depende do tamanho da caixa e do número quântico que indica o estado de energia da partícula. A fórmula para a energia dos estados permitidos é:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2
Aqui:
  • En é a energia no nível n,
  • n é o número quântico (1, 2, 3, …),
  • hbar é a constante de Planck reduzida ( hbar approx 1.0545718 times 10^-34 , J·s),
  • m é a massa do elétron ( m approx 9.10938356 times 10^-31 , kg),
  • L é o comprimento da caixa.

Passo 3

Como queremos a energia mínima, vamos considerar o estado fundamental, ou seja, n = 1. Substituindo na fórmula:
E1 = pi^2 hbar^22 m L^2
Vamos calcular esse valor usando L = 1 AA = 1 times 10^-10 , m.

Passo 4

Vamos inserir os valores na equação:
E1 = pi^2 (1.0545718 times 10^-34 , J·s)^22 times 9.10938356 times 10^-31 , kg times (1 times 10^-10 , m)^2
Calculando os termos:
E1 = 9.8696 times (1.112 times 10^-68)2 times 9.10938356 times 10^-31 times 1 times 10^-20
E1 = 1.098 times 10^-671.8219 times 10^-50 approx 6.02 times 10^-18 , J

Passo 5

Agora, para achar a velocidade média correspondente, podemos usar a relação clássica entre energia cinética e velocidade:
Ek = 12 m v^2
Vamos isolar v:
v = raiz2 Ekm

Passo 6

Substituindo Ek = E1 = 6.02 times 10^-18 , J e m = 9.10938356 times 10^-31 , kg:
v = raiz2 times 6.02 times 10^-189.10938356 times 10^-31
v = raiz1.204 times 10^-179.10938356 times 10^-31 approx raiz1.321 times 10^13 approx 3.63 times 10^6 , m/s

Resposta

A energia cinética mínima média do elétron é aproximadamente 6.02 times 10^-18 , J e a velocidade média correspondente é cerca de 3.63 times 10^6 , m/s.

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