Um átomo de hidrogênio de Rydberg está no estado excitado
. (a) Qual é a diferença de energia (em eV) entre este estado e o estado
? (b) Qual é a energia de ionização do átomo no estado
? © Quais são a frequência e o comprimento de onda do fóton emitido em uma transição do estado
para o estado
? (d) Qual é o raio do átomo no estado
? Quantas vezes maior que o raio de Bohr é esse raio?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o átomo de hidrogênio no estado excitado usando a série de Rydberg. A matéria envolve conceitos de energia dos níveis eletrônicos, transições entre esses níveis, e o modelo de Bohr para o raio do átomo. Para resolver, vamos precisar das fórmulas que descrevem a energia dos níveis do hidrogênio, a energia de ionização, e as relações entre frequência, comprimento de onda e energia dos fótons.
Passo 2
Parte (a): Diferença de energia entre os estados
e
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a energia de um nível
do átomo de hidrogênio:
A diferença de energia entre dois níveis é dada pela subtração das energias desses níveis. Então,
Calculando os valores:
Passo 3
Parte (b): Energia de ionização do átomo no estado
A energia de ionização é a energia necessária para remover o elétron do átomo, ou seja, para levar o elétron do nível
para
.
Usamos a mesma fórmula da energia:
Calculando:
Passo 4
Parte ©: Frequência e comprimento de onda do fóton emitido na transição de
para
Quando o elétron transita de um nível superior para um inferior, um fóton é emitido com energia igual à diferença das energias dos dois níveis. Já calculamos essa diferença no item (a):
Para encontrar a frequência (
) do fóton, usamos a relação entre energia e frequência:
Onde
é a constante de Planck (
).
Então,
Para o comprimento de onda (
), usamos a relação:
Onde
é a velocidade da luz (
).
Então,
Passo 5
Parte (d): Raio do átomo no estado
e quantas vezes maior que o raio de Bohr
A fórmula para o raio de Bohr em um determinado estado
é:
Onde
.
Então, para
:
Para saber quantas vezes maior que o raio de Bohr é esse raio:
Resposta
(a) A diferença de energia entre os estados
e
é aproximadamente
.
(b) A energia de ionização do átomo no estado
é cerca de
.
© O fóton emitido na transição de
para
tem uma frequência de aproximadamente
e um comprimento de onda de cerca de
.
(d) O raio do átomo no estado
é aproximadamente
(107.1 nm), que é 2025 vezes maior que o raio de Bohr.
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