Uma partícula se encontra no estado fundamental de um poço quadrado infinito dado pela Equação 1. Calcule a probabilidade de que a partícula seja encontrada na região (a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula no estado fundamental de um poço quadrado infinito, e queremos calcular a probabilidade de ela estar na região . Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados às funções de onda e à probabilidade associada a elas.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber qual é a função de onda da partícula no estado fundamental. Em um poço quadrado infinito de comprimento , a função de onda para o estado fundamental é dada por:
Essa função descreve a amplitude de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição dentro do poço.
Passo 3
A probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo específico é obtida integrando o quadrado da função de onda nesse intervalo. Ou seja, a probabilidade está dada por:
No nosso caso, queremos a probabilidade de , então:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver a integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Resposta
A probabilidade de a partícula ser encontrada na região é de ou 50%.