Uma partícula se encontra no estado fundamental de um poço quadrado infinito dado pela Equação 1. Calcule a probabilidade de que a partícula seja encontrada na região (a) 0 L / 2 ;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula no estado fundamental de um poço quadrado infinito, e queremos calcular a probabilidade de ela estar na região . Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados às funções de onda e à probabilidade associada a elas.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber qual é a função de onda da partícula no estado fundamental. Em um poço quadrado infinito de comprimento psi1(x) = raiz2L sin(pi xL) , a função de onda para o estado fundamental é dada por:
Essa função descreve a amplitude de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição dentro do poço.

Passo 3

A probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo específico é obtida integrando o quadrado da função de onda nesse intervalo. Ou seja, a probabilidade P = integrala^b |psi1(x)|^2 dx está dada por:
P = integral0^L2 |raiz2L sin(pi xL)|^2 dx
No nosso caso, queremos a probabilidade de , então:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
|psi1(x)|^2 = (raiz2L sin(pi xL))^2 = 2L sin^2(pi xL)
Então, a integral fica:
P = 2L integral0^L2 sin^2(pi xL) dx

Passo 5

Para resolver a integral, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2
Aplicando isso na nossa integral:
P = 2L integral0^L2 1 - cos(2pi xL)2 dx = 1L integral0^L2 (1 - cos(2pi xL)) dx

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral0^L2 1 , dx = x |0^L2 = L2
integral0^L2 cos(2pi xL) dx = L2pi sin(2pi xL) |0^L2 = L2pi (sin(pi) - sin(0)) = 0
Portanto:
P = 1L (L2 - 0) = 12

Resposta

A probabilidade de a partícula ser encontrada na região é de ou 50%.

Exercícios relacionados