Uma partícula se encontra no estado fundamental de um poço quadrado infinito dado pela Equação 1. Calcule a probabilidade de que a partícula seja encontrada na região (a)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula no estado fundamental de um poço quadrado infinito, e queremos calcular a probabilidade de ela estar na região . Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados às funções de onda e à probabilidade associada a elas.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber qual é a função de onda da partícula no estado fundamental. Em um poço quadrado infinito de comprimento , a função de onda para o estado fundamental é dada por:
Essa função descreve a amplitude de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição dentro do poço.

Passo 3

A probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo específico é obtida integrando o quadrado da função de onda nesse intervalo. Ou seja, a probabilidade está dada por:
No nosso caso, queremos a probabilidade de , então:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver a integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Portanto:

Resposta

A probabilidade de a partícula ser encontrada na região é de ou 50%.

Exercícios relacionados

A série de linhas espectrais do hidrogênio com é denominada série de Brackett. Calcule os comprimentos de onda das quatro primeiras linhas da série de Brackett. Considere .
Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por e uma energia dada por , em que é um comprimento. (e) Mostre que é o ponto de retorno clássico.
(a) Em que comprimento de onda um objeto em temperatura ambiente ( ) emite a radiação térmica máxima? (b) A que temperatura devemos aquecê-lo até que seu pico de radiação térmica esteja na região vermelha do espectro )? © Quantas vezes mais radiação térmica ele emite na temperatura mais alta?
Um átomo de hidrogênio de Rydberg está no estado excitado . (a) Qual é a diferença de energia (em eV) entre este estado e o estado ? (b) Qual é a energia de ionização do átomo no estado ? © Quais são a frequência e o comprimento de onda do fóton emitido em uma transição do estado para o estado ? (d) Qual é o raio do átomo no estado ? Quantas vezes maior que o raio de Bohr é esse raio?