Um poço quadrado finito com 1,0 fm de largura contém um nêutron. Qual deve ser a profundidade do poço para que existam apenas dois níveis permitidos de energia para o nêutron?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um poço quadrado finito com largura de que contém um nêutron. A pergunta é: qual deve ser a profundidade desse poço para que existam apenas dois níveis de energia permitidos para o nêutron?
Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre poços de potencial finitos, para resolver isso. Precisaremos entender como os níveis de energia se formam em um poço potencial e quais condições determinam a quantidade de níveis permitidos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que em um poço de potencial finito, as partículas (neste caso, o nêutron) podem ter estados ligados com energias discretas. O número de níveis de energia permitidos depende da profundidade e da largura do poço. Quanto mais profundo e mais largo for o poço, mais níveis de energia podem existir.

Passo 3

Para determinar a profundidade necessária para ter apenas dois níveis permitidos, precisamos usar a equação de Schrödinger para um poço de potencial finito. A equação descreve como a função de onda do nêutron se comporta dentro e fora do poço.
A condição para que exista um determinado número de estados ligados envolve resolver equações transcendentes que relacionam a profundidade do poço ( ), a largura ( ) e a massa do nêutron ( ).

Passo 4

Vamos considerar um poço de potencial unidimensional para simplificar. A largura do poço é tan(k a) = raiz(V0E) - 1 e queremos que existam apenas dois níveis de energia. Os níveis de energia correspondem às soluções simétricas e anti-simétricas da função de onda.
As equações transcendentes para os níveis de energia são:
cot(k a) = -raiz(V0E) - 1
onde e é a energia do estado ligado.

Passo 5

Como queremos apenas dois níveis de energia, devemos encontrar a profundidade V0 = hbar^2 pi^28 m a^2 onde o terceiro nível está à beira de se formar, ou seja, quando ele está com energia igual à energia do limite do poço ( ).
Nesse caso, a condição se simplifica, e podemos usar uma relação aproximada para a profundidade mínima necessária para suportar dois níveis ligados:

Passo 6

Agora, vamos inserir os valores conhecidos:
  • V0 = (1,055 times 10^-34)^2 pi^28 times 1,675 times 10^-27 times (1,0 times 10^-15)^2
  • A massa do nêutron
Substituindo na fórmula:

Passo 7

Calculando os valores:
V0 = (1,113 times 10^-68) times 9,8708 times 1,675 times 10^-27 times 1,0 times 10^-30
V0 = 1,100 times 10^-671,34 times 10^-56 approx 8,2 times 10^-12 , J
Convertendo para MeV (já que em física de partículas é comum usar essa unidade, onde V0 approx 8,2 times 10^-12 , J times 6,242 times 10^12 , MeVJ approx 51,2 , MeV ):

Resposta

A profundidade do poço deve ser aproximadamente para que existam apenas dois níveis de energia permitidos para o nêutron.

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