Um poço quadrado finito com
de largura contém um nêutron. Qual deve ser a profundidade do poço para que existam apenas dois níveis permitidos de energia para o nêutron?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um poço quadrado finito com largura de
que contém um nêutron. A pergunta é: qual deve ser a profundidade desse poço para que existam apenas dois níveis de energia permitidos para o nêutron?
Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre poços de potencial finitos, para resolver isso. Precisaremos entender como os níveis de energia se formam em um poço potencial e quais condições determinam a quantidade de níveis permitidos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que em um poço de potencial finito, as partículas (neste caso, o nêutron) podem ter estados ligados com energias discretas. O número de níveis de energia permitidos depende da profundidade e da largura do poço. Quanto mais profundo e mais largo for o poço, mais níveis de energia podem existir.
Passo 3
Para determinar a profundidade necessária para ter apenas dois níveis permitidos, precisamos usar a equação de Schrödinger para um poço de potencial finito. A equação descreve como a função de onda do nêutron se comporta dentro e fora do poço.
A condição para que exista um determinado número de estados ligados envolve resolver equações transcendentes que relacionam a profundidade do poço (
), a largura (
) e a massa do nêutron (
).
Passo 4
Vamos considerar um poço de potencial unidimensional para simplificar. A largura do poço é
e queremos que existam apenas dois níveis de energia. Os níveis de energia correspondem às soluções simétricas e anti-simétricas da função de onda.
As equações transcendentes para os níveis de energia são:
onde
e
é a energia do estado ligado.
Passo 5
Como queremos apenas dois níveis de energia, devemos encontrar a profundidade
onde o terceiro nível está à beira de se formar, ou seja, quando ele está com energia igual à energia do limite do poço (
).
Nesse caso, a condição se simplifica, e podemos usar uma relação aproximada para a profundidade mínima necessária para suportar dois níveis ligados:
Passo 6
Agora, vamos inserir os valores conhecidos:
-
- A massa do nêutron
-
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Calculando os valores:
Convertendo para MeV (já que em física de partículas é comum usar essa unidade, onde
):
Resposta
A profundidade do poço deve ser aproximadamente
para que existam apenas dois níveis de energia permitidos para o nêutron.