Átomos de hidrogênio são preparados em uma célula de vidro em um estado de energia inicial . As paredes da célula absorvem toda luz de comprimento de onda menor que 5000 Å. Quais são os comprimentos de onda dos fótons que escampam da célula à medida que os átomos de hidrogênio voltam para o estado fundamental?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos átomos de hidrogênio que estão inicialmente no estado de energia . As paredes da célula de vidro onde eles estão absorvem qualquer luz com comprimento de onda menor que 5000 Å (angstroms). Nosso objetivo é descobrir quais são os comprimentos de onda dos fótons que conseguem escapar da célula quando esses átomos voltam para o estado fundamental, ou seja, para . Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria dos níveis de energia do hidrogênio e a relação entre energia e comprimento de onda dos fótons.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os níveis de energia do átomo de hidrogênio. A energia dos elétrons nesses níveis é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a energia no nível .
  • é o número quântico principal (números inteiros: 1, 2, 3, …).
Isso significa que quanto maior o valor de , menos energia o elétron tem (mais próximo do zero).

Passo 3

Quando um elétron cai de um nível de energia mais alto para um mais baixo, ele emite um fóton com uma energia igual à diferença entre esses dois níveis. A energia do fóton emitido é dada por:
Onde:
  • é a energia do fóton emitido.
  • é a energia inicial.
  • é a energia final.
  • é o nível inicial.
  • é o nível final.

Passo 4

Sabemos também que a energia de um fóton está relacionada ao seu comprimento de onda pela equação:
Onde:
  • é a energia do fóton.
  • é a constante de Planck ( ).
  • é a velocidade da luz ( ).
  • é o comprimento de onda.
Podemos rearranjar essa equação para encontrar :

Passo 5

Agora, vamos identificar todas as possíveis transições desde até . As transições possíveis são:
  • De para
  • De para
  • De para
  • De para
  • De para
  • De para
  • De para
  • De para
  • De para
  • De para
Cada uma dessas transições emitirá um fóton com um comprimento de onda específico que podemos calcular.

Passo 6

Vamos calcular a diferença de energia para cada transição usando a fórmula da energia:
E depois calcular o comprimento de onda correspondente:
Para simplificar, vamos usar valores de em unidades compatíveis:
Como Å, vamos ajustar a fórmula para obter em Ångstrons:
ÅÅ

Passo 7

Agora, vamos calcular e para cada transição:
  1. De para :
    Å
  2. De para :
    Å
  3. De para :
    Å
  4. De para :
    Å
Repetiremos esse processo para as outras transições:
  1. De para :
    Å
  2. De para :
    Å
  3. De para :
    Å
  4. De para :
    Å
  5. De para :
    Å
  6. De para :
    Å

Passo 8

Agora que temos todos os comprimentos de onda das possíveis transições, precisamos verificar quais desses comprimentos são maiores ou iguais a 5000 Å, já que os fótons com Å são absorvidos pelas paredes da célula e, portanto, não escapam.
Vamos listar os comprimentos de onda calculados:
  • 40588 Å
  • 12804 Å
  • 4331 Å
  • 949 Å
  • 18808 Å
  • 4863 Å
  • 972 Å
  • 6561 Å
  • 10231 Å
  • 12157 Å
Agora, selecionamos apenas aqueles que são Å:
  • 40588 Å
  • 12804 Å
  • 18808 Å
  • 6561 Å
  • 10231 Å
  • 12157 Å

Resposta

Os comprimentos de onda dos fótons que escapam da célula são:
  • 40588 Å
  • 12804 Å
  • 18808 Å
  • 6561 Å
  • 10231 Å
  • 12157 Å

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