Átomos de hidrogênio são preparados em uma célula de vidro em um estado de energia inicial n=5. As paredes da célula absorvem toda luz de comprimento de onda menor que 5000 Å. Quais são os comprimentos de onda dos fótons que escampam da célula à medida que os átomos de hidrogênio voltam para o estado fundamental?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos átomos de hidrogênio que estão inicialmente no estado de energia n=5. As paredes da célula de vidro onde eles estão absorvem qualquer luz com comprimento de onda menor que 5000 Å (angstroms). Nosso objetivo é descobrir quais são os comprimentos de onda dos fótons que conseguem escapar da célula quando esses átomos voltam para o estado fundamental, ou seja, para n=1. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria dos níveis de energia do hidrogênio e a relação entre energia e comprimento de onda dos fótons.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os níveis de energia do átomo de hidrogênio. A energia dos elétrons nesses níveis é dada pela fórmula:
En = -13,6, eVn^2
Onde:
  • En é a energia no nível n.
  • n é o número quântico principal (números inteiros: 1, 2, 3, …).
Isso significa que quanto maior o valor de n, menos energia o elétron tem (mais próximo do zero).

Passo 3

Quando um elétron cai de um nível de energia mais alto para um mais baixo, ele emite um fóton com uma energia igual à diferença entre esses dois níveis. A energia do fóton emitido é dada por:
De
Onde:
  • De é a energia do fóton emitido.
  • Ei é a energia inicial.
  • Ef é a energia final.
  • ni é o nível inicial.
  • nf é o nível final.

Passo 4

Sabemos também que a energia de um fóton está relacionada ao seu comprimento de onda pela equação:
E = hclambda
Onde:
  • E é a energia do fóton.
  • h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34, J·s).
  • c é a velocidade da luz ( 3,00 times 10^8, m/s).
  • lambda é o comprimento de onda.
Podemos rearranjar essa equação para encontrar lambda:
lambda = hcDe

Passo 5

Agora, vamos identificar todas as possíveis transições desde n=5 até n=1. As transições possíveis são:
  • De n=5 para n=4
  • De n=5 para n=3
  • De n=5 para n=2
  • De n=5 para n=1
  • De n=4 para n=3
  • De n=4 para n=2
  • De n=4 para n=1
  • De n=3 para n=2
  • De n=3 para n=1
  • De n=2 para n=1
Cada uma dessas transições emitirá um fóton com um comprimento de onda específico que podemos calcular.

Passo 6

Vamos calcular a diferença de energia para cada transição usando a fórmula da energia:
De
E depois calcular o comprimento de onda correspondente:
lambda = hcDe
Para simplificar, vamos usar valores de hc em unidades compatíveis:
  • h c = 1240, eV·nm
Como 1, Å = 0,1, nmÅ, vamos ajustar a fórmula para obter lambda em Ångstrons:
lambda (Å) = 12400, eV·ÅDeÅÅ

Passo 7

Agora, vamos calcular De e lambda para cada transição:
  1. De n=5 para n=4:
    De
    lambda = 124000,306 approx 40588, Å Å
  2. De n=5 para n=3:
    De
    lambda = 124000,967 approx 12804, Å Å
  3. De n=5 para n=2:
    De
    lambda = 124002,856 approx 4331, Å Å
  4. De n=5 para n=1:
    De
    lambda = 1240013,056 approx 949, Å Å
Repetiremos esse processo para as outras transições:
  1. De n=4 para n=3:
    De
    lambda = 124000,659 approx 18808, Å Å
  2. De n=4 para n=2:
    De
    lambda = 124002,55 approx 4863, Å Å
  3. De n=4 para n=1:
    De
    lambda = 1240012,75 approx 972, Å Å
  4. De n=3 para n=2:
    De
    lambda = 124001,89 approx 6561, Å Å
  5. De n=3 para n=1:
    De
    lambda = 1240012,11 approx 10231, Å Å
  6. De n=2 para n=1:
    De
    lambda = 1240010,2 approx 12157, Å Å

Passo 8

Agora que temos todos os comprimentos de onda das possíveis transições, precisamos verificar quais desses comprimentos são maiores ou iguais a 5000 Å, já que os fótons com lambda < 5000, ÅÅ são absorvidos pelas paredes da célula e, portanto, não escapam.
Vamos listar os comprimentos de onda calculados:
  • 40588 Å
  • 12804 Å
  • 4331 Å
  • 949 Å
  • 18808 Å
  • 4863 Å
  • 972 Å
  • 6561 Å
  • 10231 Å
  • 12157 Å
Agora, selecionamos apenas aqueles que são >= 5000, ÅÅ:
  • 40588 Å
  • 12804 Å
  • 18808 Å
  • 6561 Å
  • 10231 Å
  • 12157 Å

Resposta

Os comprimentos de onda dos fótons que escapam da célula são:
  • 40588 Å
  • 12804 Å
  • 18808 Å
  • 6561 Å
  • 10231 Å
  • 12157 Å

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