Átomos de hidrogênio são preparados em uma célula de vidro em um estado de energia inicial
. As paredes da célula absorvem toda luz de comprimento de onda menor que 5000 Å. Quais são os comprimentos de onda dos fótons que escampam da célula à medida que os átomos de hidrogênio voltam para o estado fundamental?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos átomos de hidrogênio que estão inicialmente no estado de energia
. As paredes da célula de vidro onde eles estão absorvem qualquer luz com comprimento de onda menor que 5000 Å (angstroms). Nosso objetivo é descobrir quais são os comprimentos de onda dos fótons que conseguem escapar da célula quando esses átomos voltam para o estado fundamental, ou seja, para
. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria dos níveis de energia do hidrogênio e a relação entre energia e comprimento de onda dos fótons.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os níveis de energia do átomo de hidrogênio. A energia dos elétrons nesses níveis é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a energia no nível . -
é o número quântico principal (números inteiros: 1, 2, 3, …).
Isso significa que quanto maior o valor de
, menos energia o elétron tem (mais próximo do zero).
Passo 3
Quando um elétron cai de um nível de energia mais alto para um mais baixo, ele emite um fóton com uma energia igual à diferença entre esses dois níveis. A energia do fóton emitido é dada por:
Onde:
-
é a energia do fóton emitido. -
é a energia inicial. -
é a energia final. -
é o nível inicial. -
é o nível final.
Passo 4
Sabemos também que a energia de um fóton está relacionada ao seu comprimento de onda pela equação:
Onde:
-
é a energia do fóton. -
é a constante de Planck ( ). -
é a velocidade da luz ( ). -
é o comprimento de onda.
Podemos rearranjar essa equação para encontrar
:
Passo 5
Agora, vamos identificar todas as possíveis transições desde
até
. As transições possíveis são:
- De
para - De
para - De
para - De
para - De
para - De
para - De
para - De
para - De
para - De
para
Cada uma dessas transições emitirá um fóton com um comprimento de onda específico que podemos calcular.
Passo 6
Vamos calcular a diferença de energia para cada transição usando a fórmula da energia:
E depois calcular o comprimento de onda correspondente:
Para simplificar, vamos usar valores de
em unidades compatíveis:
Como
, vamos ajustar a fórmula para obter
em Ångstrons:
Passo 7
Agora, vamos calcular
e
para cada transição:
-
De
para : -
De
para : -
De
para : -
De
para :
Repetiremos esse processo para as outras transições:
-
De
para : -
De
para : -
De
para : -
De
para : -
De
para : -
De
para :
Passo 8
Agora que temos todos os comprimentos de onda das possíveis transições, precisamos verificar quais desses comprimentos são maiores ou iguais a 5000 Å, já que os fótons com
são absorvidos pelas paredes da célula e, portanto, não escapam.
Vamos listar os comprimentos de onda calculados:
- 40588 Å
- 12804 Å
- 4331 Å
- 949 Å
- 18808 Å
- 4863 Å
- 972 Å
- 6561 Å
- 10231 Å
- 12157 Å
Agora, selecionamos apenas aqueles que são
:
- 40588 Å
- 12804 Å
- 18808 Å
- 6561 Å
- 10231 Å
- 12157 Å
Resposta
Os comprimentos de onda dos fótons que escapam da célula são:
- 40588 Å
- 12804 Å
- 18808 Å
- 6561 Å
- 10231 Å
- 12157 Å
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(b) Considere que em um outro átomo de hidrogênio a função de onda do elétron é dada por
onde
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Justifique sua resposta.
Justifique sua resposta.