Um túnel reto passando através de uma colina amplifica grandemente tons de 135 e . Determine o menor comprimento possível para o túnel.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um túnel reto que passa por uma colina e que amplifica muito os tons de 135 Hz e 138 Hz. Nosso objetivo é descobrir qual é o menor comprimento que esse túnel pode ter para que essa amplificação aconteça. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre ondas sonoras e ressonância em tubos, além de trabalhar com frequências e comprimentos de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um túnel amplificar certas frequências. Isso acontece devido à ressonância, que é quando a frequência de uma onda sonora coincide com a frequência natural do túnel, fazendo com que o som seja amplificado. Para um tubo reto como o túnel, as frequências ressonantes são determinadas pelo comprimento do túnel e pela velocidade do som no ar.

Passo 3

A fórmula que relaciona a velocidade do som , a frequência e o comprimento do túnel é:
onde é o comprimento de onda e é um número inteiro que representa os modos de ressonância (n = 1, 2, 3, …).

Passo 4

Sabemos que a velocidade do som no ar é aproximadamente . Também sabemos que a relação entre a velocidade do som, frequência e comprimento de onda é:
Podemos rearranjar essa equação para encontrar o comprimento de onda:
Vamos calcular os comprimentos de onda para as frequências de 135 Hz e 138 Hz.

Passo 5

Calculando para 135 Hz:
E para 138 Hz:
Agora, queremos encontrar o menor comprimento do túnel que seja múltiplo de ambas as metades desses comprimentos de onda, ou seja, o mínimo múltiplo comum desses valores.

Resposta

O menor comprimento possível para o túnel é aproximadamente .

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