Um túnel reto passando através de uma colina amplifica grandemente tons de 135 e
. Determine o menor comprimento possível para o túnel.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um túnel reto que passa por uma colina e que amplifica muito os tons de 135 Hz e 138 Hz. Nosso objetivo é descobrir qual é o menor comprimento que esse túnel pode ter para que essa amplificação aconteça. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre ondas sonoras e ressonância em tubos, além de trabalhar com frequências e comprimentos de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um túnel amplificar certas frequências. Isso acontece devido à ressonância, que é quando a frequência de uma onda sonora coincide com a frequência natural do túnel, fazendo com que o som seja amplificado. Para um tubo reto como o túnel, as frequências ressonantes são determinadas pelo comprimento do túnel e pela velocidade do som no ar.
Passo 3
A fórmula que relaciona a velocidade do som
, a frequência
e o comprimento do túnel
é:
onde
é o comprimento de onda e
é um número inteiro que representa os modos de ressonância (n = 1, 2, 3, …).
Passo 4
Sabemos que a velocidade do som no ar é aproximadamente
. Também sabemos que a relação entre a velocidade do som, frequência e comprimento de onda é:
Podemos rearranjar essa equação para encontrar o comprimento de onda:
Vamos calcular os comprimentos de onda para as frequências de 135 Hz e 138 Hz.
Passo 5
Calculando para 135 Hz:
E para 138 Hz:
Agora, queremos encontrar o menor comprimento do túnel que seja múltiplo de ambas as metades desses comprimentos de onda, ou seja, o mínimo múltiplo comum desses valores.
Resposta
O menor comprimento possível para o túnel é aproximadamente
.
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