A função de onda de uma partícula é escrita como a superposição de estados estacionários:
com as correspondentes energias
e
. © Qual o valor esperado da energia total?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de onda
que é uma superposição de estados estacionários
,
e
, cada um com uma energia correspondente
,
e
. O que a gente precisa encontrar é o valor esperado da energia total dessa partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado da energia
para uma função de onda
é dado por:
onde
é o operador Hamiltoniano. Nos estados estacionários, sabemos que:
Isso simplifica bastante a nossa vida porque podemos usar as energias
diretamente.
Passo 3
A função de onda
é dada por:
Para calcular o valor esperado da energia, vamos considerar a superposição linear e usar a propriedade de ortogonalidade dos estados estacionários, ou seja,
, onde
é o delta de Kronecker.
Passo 4
Vamos calcular
:
Como os estados são ortogonais, os termos cruzados desaparecem, e ficamos com:
Passo 5
Sabemos que
(função de onda normalizada). Então:
Vamos calcular
:
Passo 6
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
O valor esperado da energia total é
.