A função de onda de uma partícula é escrita como a superposição de estados estacionários:
com as correspondentes energias e . © Qual o valor esperado da energia total?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de onda que é uma superposição de estados estacionários , e , cada um com uma energia correspondente , e . O que a gente precisa encontrar é o valor esperado da energia total dessa partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado da energia para uma função de onda é dado por:
onde é o operador Hamiltoniano. Nos estados estacionários, sabemos que:
Isso simplifica bastante a nossa vida porque podemos usar as energias diretamente.

Passo 3

A função de onda é dada por:
Para calcular o valor esperado da energia, vamos considerar a superposição linear e usar a propriedade de ortogonalidade dos estados estacionários, ou seja, , onde é o delta de Kronecker.

Passo 4

Vamos calcular :
Como os estados são ortogonais, os termos cruzados desaparecem, e ficamos com:

Passo 5

Sabemos que (função de onda normalizada). Então:
Vamos calcular :

Passo 6

Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

O valor esperado da energia total é .

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