A função de onda de uma partícula é escrita como a superposição de estados estacionários:
Psi(x)=12[psi1(x)+(1-i) psi2(x)+B psi3(x)]
com as correspondentes energias E1=1 eV, E2=2 eV e E3=3 eV. © Qual o valor esperado da energia total?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de onda que é uma superposição de estados estacionários , e , cada um com uma energia correspondente , e . O que a gente precisa encontrar é o valor esperado da energia total dessa partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado da energia lang<= E rang<= = integral Psi^*(x) H Psi(x) , dx para uma função de onda H psin(x) = En psin(x) é dado por:
onde é o operador Hamiltoniano. Nos estados estacionários, sabemos que:
Isso simplifica bastante a nossa vida porque podemos usar as energias diretamente.

Passo 3

A função de onda Psi(x) = 12[psi1(x) + (1 - i) psi2(x) + B psi3(x)] é dada por:
Para calcular o valor esperado da energia, vamos considerar a superposição linear e usar a propriedade de ortogonalidade dos estados estacionários, ou seja, , onde é o delta de Kronecker.

Passo 4

Vamos calcular lang<= E rang<= = 14 [ lang<= psi1 | E psi1 rang<= + lang<= (1 - i)psi2 | E (1 - i)psi2 rang<= + lang<= Bpsi3 | E Bpsi3 rang<= ] :
lang<= E rang<= = 14 [ E1 lang<= psi1 | psi1 rang<= + |1 - i|^2 E2 lang<= psi2 | psi2 rang<= + |B|^2 E3 lang<= psi3 | psi3 rang<= ]
Como os estados são ortogonais, os termos cruzados desaparecem, e ficamos com:

Passo 5

Sabemos que lang<= E rang<= = 14 [ E1 + |1 - i|^2 E2 + |B|^2 E3 ] (função de onda normalizada). Então:
|1 - i|^2 = (1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2
Vamos calcular :

Passo 6

Substituindo os valores:
lang<= E rang<= = 14 [ 1 , eV + 2 times 2 , eV + |B|^2 times 3 , eV ]
Simplificando:
lang<= E rang<= = 14 [ 1 + 4 + 3|B|^2 ] , eV = 5 + 3|B|^24 , eV

Resposta

O valor esperado da energia total é .

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