Considere um elétron em um átomo de hidrogênio.
(b) Considere que em um outro átomo de hidrogênio a função de onda do elétron é dada por
onde são as autofunções normalizadas do átomo de hidrogênio. Infelizmente, as informações sobre e foram perdidas. Quantos estados são possíveis?
Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um elétron em um átomo de hidrogênio, e a função de onda desse elétron é uma combinação de três autofunções normalizadas do átomo de hidrogênio. No entanto, algumas informações sobre os números quânticos dessas autofunções foram perdidas. Nosso objetivo é descobrir quantos estados possíveis existem com as informações que temos. Para resolver isso, vamos precisar entender os números quânticos no átomo de hidrogênio e como eles determinam os estados eletrônicos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que cada autofunção no átomo de hidrogênio é caracterizada por três números quânticos: o número quântico principal , o número quântico azimutal , e o número quântico magnético . O número determina o nível de energia, está relacionado à forma do orbital, e indica a orientação do orbital no espaço.

Passo 3

No enunciado, temos três autofunções:
  1. com ,
  2. com ,
  3. com ,
Precisamos descobrir os possíveis valores de , e .

Passo 4

Vamos lembrar as restrições para esses números quânticos:
  • Para cada , varia de a .
  • Para cada , varia de a .
Agora, vamos determinar os possíveis valores para cada número quântico perdido.

Passo 5

Para a primeira autofunção :
  • , então pode ser .
  • Como , deve ser pelo menos , pois varia de a . Então, pode ser ou .

Passo 6

Para a segunda autofunção :
  • , então pode ser ou .
  • Se , então .
  • Se , então .
    Assim, pode ser:
  • se
  • se

Passo 7

Para a terceira autofunção :
  • , então (já que varia de a , e para , apenas é permitido).
  • Com , é o único valor possível.

Passo 8

Agora, vamos calcular o número de combinações possíveis:
  • : 2 opções ( ou )
  • :
    • Se : 1 opção ( )
    • Se : 3 opções ( )
      Então, para , temos:
  • 1 opção quando
  • 3 opções quando
    E também está ligado a .

Passo 9

Vamos considerar todas as combinações possíveis:
  1. com na segunda autofunção:
    • ,
  2. com na segunda autofunção:
    • , (3 opções)
  3. com na segunda autofunção:
    • ,
  4. com na segunda autofunção:
    • , (3 opções)

Passo 10

Agora, somamos todas as opções:
  • Para :
    • : 1 opção
    • : 3 opções
      Total: 4 opções
  • Para :
    • : 1 opção
    • : 3 opções
      Total: 4 opções
      Então, no total, temos possibilidades.

Resposta

Existem 8 estados possíveis para o elétron nesse átomo de hidrogênio, considerando as combinações dos números quânticos , e de acordo com as restrições dos números quânticos no átomo de hidrogênio.

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