Considere um elétron em um átomo de hidrogênio.
(b) Considere que em um outro átomo de hidrogênio a função de onda do elétron é dada por
onde
são as autofunções normalizadas do átomo de hidrogênio. Infelizmente, as informações sobre
e
foram perdidas. Quantos estados são possíveis?
Justifique sua resposta.
(b) Considere que em um outro átomo de hidrogênio a função de onda do elétron é dada por
Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um elétron em um átomo de hidrogênio, e a função de onda desse elétron é uma combinação de três autofunções normalizadas do átomo de hidrogênio. No entanto, algumas informações sobre os números quânticos dessas autofunções foram perdidas. Nosso objetivo é descobrir quantos estados possíveis existem com as informações que temos. Para resolver isso, vamos precisar entender os números quânticos no átomo de hidrogênio e como eles determinam os estados eletrônicos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que cada autofunção no átomo de hidrogênio é caracterizada por três números quânticos: o número quântico principal
, o número quântico azimutal
, e o número quântico magnético
. O número
determina o nível de energia,
está relacionado à forma do orbital, e
indica a orientação do orbital no espaço.
Passo 3
No enunciado, temos três autofunções:
-
com , -
com , -
com ,
Precisamos descobrir os possíveis valores de
,
e
.
Passo 4
Vamos lembrar as restrições para esses números quânticos:
- Para cada
, varia de a . - Para cada
, varia de a .
Agora, vamos determinar os possíveis valores para cada número quântico perdido.
Passo 5
Para a primeira autofunção
:
-
, então pode ser . - Como
, deve ser pelo menos , pois varia de a . Então, pode ser ou .
Passo 6
Para a segunda autofunção
:
-
, então pode ser ou . - Se
, então . - Se
, então .
Assim,pode ser: -
se -
se
Passo 7
Para a terceira autofunção
:
-
, então (já que varia de a , e para , apenas é permitido). - Com
, é o único valor possível.
Passo 8
Agora, vamos calcular o número de combinações possíveis:
-
: 2 opções ( ou ) -
: - Se
: 1 opção ( ) - Se
: 3 opções ( )
Então, para, temos:
- Se
- 1 opção quando
- 3 opções quando
Etambém está ligado a .
Passo 9
Vamos considerar todas as combinações possíveis:
-
com na segunda autofunção: -
-
,
-
-
com na segunda autofunção: -
-
, (3 opções)
-
-
com na segunda autofunção: -
-
,
-
-
com na segunda autofunção: -
-
, (3 opções)
-
Passo 10
Agora, somamos todas as opções:
- Para
: -
: 1 opção -
: 3 opções
Total: 4 opções
-
- Para
: -
: 1 opção -
: 3 opções
Total: 4 opções
Então, no total, temospossibilidades.
-
Resposta
Existem 8 estados possíveis para o elétron nesse átomo de hidrogênio, considerando as combinações dos números quânticos
,
e
de acordo com as restrições dos números quânticos no átomo de hidrogênio.
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