Os átomos de uma molécula diatômica, que compõem um gás em equilíbrio térmico à temperatura T, possuem separação média d e massa m. Calcule a frequência para o gás nitrogênio, m simeq 2,34 cdot 10^-26 kg e d simeq 1,2 cdot 10^-10 m, à 20^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma molécula diatômica (como o nitrogênio, N₂) onde os átomos estão separados, em média, por uma distância d = 1,2 cdot 10^-10 metros. Cada átomo tem uma massa m = 2,34 cdot 10^-26 kg, e a temperatura do gás é 20^circC. Queremos calcular a frequência das vibrações dessa molécula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física molecular relacionados a moléculas diatômicas como osciladores harmônicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a frequência de vibração de uma molécula diatômica pode ser aproximada usando o modelo de oscilador harmônico. A fórmula para a frequência nu desse oscilador é:
nu = 12pi raizkmu
Onde:
  • k é a constante elástica (rigidez) da ligação entre os átomos.
  • mu é a massa reduzida da molécula, dada por mu = m1 m2m1 + m2. No caso de uma molécula diatômica homonuclear como o N₂, onde m1 = m2 = m, então mu = m2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a constante elástica k. Podemos relacionar k com a separação média d e a energia térmica da molécula. Usando a teoria dos gases e a energia média por grau de liberdade, temos que a energia média de vibração é igual à energia térmica fornecida pela temperatura T:
12k d^2 = 12kB T
Onde kB é a constante de Boltzmann ( kB approx 1,38 times 10^-23 J/K) e T é a temperatura em Kelvin. Primeiro, vamos converter a temperatura de 20^circC para Kelvin:
T = 20 + 273,15 = 293,15 K

Passo 4

Resolvendo a equação para k, temos:
k = kB Td^2
Substituindo os valores conhecidos:
k = 1,38 times 10^-23 J/K times 293,15 K(1,2 times 10^-10 m)^2
Calculando o denominador:
d^2 = (1,2 times 10^-10)^2 = 1,44 times 10^-20 m^2
Então:
k = 1,38 times 10^-23 times 293,151,44 times 10^-20 approx 4,04 times 10^-211,44 times 10^-20 approx 0,28 N/m

Passo 5

Agora que temos k, vamos calcular a massa reduzida mu:
mu = m2 = 2,34 times 10^-26 kg2 = 1,17 times 10^-26 kg

Passo 6

Com k e mu determinados, podemos calcular a frequência nu:
nu = 12pi raizkmu = 12pi raiz0,281,17 times 10^-26
Primeiro, calculamos a razão dentro da raiz:
0,281,17 times 10^-26 approx 2,39 times 10^25 s^-2
Agora, tiramos a raiz quadrada:
raiz2,39 times 10^25 approx 4,89 times 10^12 s^-1
Finalmente, dividimos por 2pi:
nu = 4,89 times 10^126,2832 approx 7,78 times 10^11 Hz

Resposta

A frequência do gás nitrogênio à 20^circC é aproximadamente 7,78 times 10^11 Hz.

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