Os átomos de uma molécula diatômica, que compõem um gás em equilíbrio térmico à temperatura
, possuem separação média
e massa
. Calcule a frequência para o gás nitrogênio,
e
, à
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma molécula diatômica (como o nitrogênio, N₂) onde os átomos estão separados, em média, por uma distância
metros. Cada átomo tem uma massa
kg, e a temperatura do gás é
. Queremos calcular a frequência das vibrações dessa molécula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física molecular relacionados a moléculas diatômicas como osciladores harmônicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a frequência de vibração de uma molécula diatômica pode ser aproximada usando o modelo de oscilador harmônico. A fórmula para a frequência
desse oscilador é:
Onde:
-
é a constante elástica (rigidez) da ligação entre os átomos. -
é a massa reduzida da molécula, dada por . No caso de uma molécula diatômica homonuclear como o N₂, onde , então .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a constante elástica
. Podemos relacionar
com a separação média
e a energia térmica da molécula. Usando a teoria dos gases e a energia média por grau de liberdade, temos que a energia média de vibração é igual à energia térmica fornecida pela temperatura
:
Onde
é a constante de Boltzmann (
) e
é a temperatura em Kelvin. Primeiro, vamos converter a temperatura de
para Kelvin:
Passo 4
Resolvendo a equação para
, temos:
Substituindo os valores conhecidos:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 5
Agora que temos
, vamos calcular a massa reduzida
:
Passo 6
Com
e
determinados, podemos calcular a frequência
:
Primeiro, calculamos a razão dentro da raiz:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Finalmente, dividimos por
:
Resposta
A frequência do gás nitrogênio à
é aproximadamente
.