Um cilindro contém uma certa quantidade de um gás ideal, cujo estado inicial é dado por
. Através de um pistão, que pode mover-se livremente, o gás expande-se isotermicamente até
. A seguir, é comprimido isobaricamente até
. Finalmente, é aquecido isocoricamente até voltar à temperatura inicial. Calcule o trabalho total realizado pelo gás neste processo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro com um gás ideal que passa por três etapas de mudança de estado: uma expansão isoterma, uma compressão isobárica e um aquecimento isocórico. Nosso objetivo é calcular o trabalho total que o gás realiza nesse processo. Para isso, vamos precisar das leis dos gases ideais e das fórmulas de trabalho para cada tipo de processo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expansão isotérmica. “Isotérmica” significa que a temperatura permanece constante durante o processo. Para um gás ideal, a equação dos gases é $ PV = nRT $. Como a temperatura $ T $ não muda, a relação entre pressão $ P $ e volume $ V $ é inversa.
O trabalho realizado durante uma expansão isotérmica é dado por:
Onde:
- $ V_i = V_0 $ (volume inicial)
- $ V_f = \frac{3}{2} V_0 $ (volume final)
Passo 3
Agora, vamos para a compressão isobárica. “Isobárica” significa que a pressão permanece constante durante o processo. O trabalho realizado durante uma compressão ou expansão isobárica é calculado por:
Aqui, a pressão $ P $ é constante e $ \Delta V = V_{final} - V_{inicial} $. No nosso caso, o gás é comprimido de $ \frac{3}{2} V_0 $ de volta para $ V_0 $, então $ \Delta V = V_0 - \frac{3}{2} V_0 = -\frac{1}{2} V_0 $.
Passo 4
Por fim, temos o aquecimento isocórico. “Isocórico” significa que o volume permanece constante. Durante um processo isocórico, não há trabalho realizado porque o volume não muda ($ \Delta V = 0 $):
Passo 5
Agora, vamos somar os trabalhos de cada etapa para encontrar o trabalho total $ W_{total} $:
Substituindo os valores que calculamos:
Resposta
O trabalho total realizado pelo gás neste processo é: