Um mol de um gás ideal, cujo estado inicial é
, se expande isotermicamente até
e, na sequência, retorna ao estado inicial através de uma reta no diagrama
. Calcule o calor recebido, o trabalho realizado e a variação de energia interna do gás.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um mol de um gás ideal que começa no estado inicial
. Primeiro, ele se expande de forma isotérmica até um volume final
. Depois, ele volta para o estado inicial através de uma linha reta no diagrama
. A gente precisa calcular três coisas:
- O calor recebido pelo gás (
) - O trabalho realizado pelo gás (
) - A variação da energia interna do gás (
)
Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, como processos isotérmicos, trabalho em processos termodinâmicos e a primeira lei da termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma expansão isotérmica. “Isotérmica” significa que a temperatura do gás permanece constante durante o processo. Para um gás ideal, isso implica que a energia interna (
) não muda, já que
depende apenas da temperatura. Então, durante a expansão isotérmica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o trabalho realizado durante a expansão isotérmica. Para um processo isotérmico de um gás ideal, o trabalho
é dado por:
Onde:
-
é o número de mols (1 mol nesse caso), -
é a constante dos gases ( ), -
é a temperatura (constante), -
e são os volumes final e inicial.
Como
, pela primeira lei da termodinâmica (
), temos:
Então, o calor recebido pelo gás durante a expansão isotérmica é igual ao trabalho realizado.
Passo 4
Depois da expansão isotérmica, o gás retorna ao estado inicial seguindo uma linha reta no diagrama
. Esse caminho de retorno não é isotérmico, então a variação da energia interna pode não ser zero.
Para calcular o trabalho total realizado no ciclo completo, precisamos considerar os dois processos:
- Expansão isotérmica: trabalho
- Retorno pela linha reta: trabalho
que podemos calcular usando a área sob a curva no diagrama .
No entanto, como o ciclo completo retorna ao estado inicial, a variação total da energia interna
.
Passo 5
Vamos agora calcular o trabalho do caminho de retorno. Como a trajetória é uma linha reta no diagrama
, a relação entre
e
é linear. Podemos expressar
em função de
como:
Onde
e
são constantes que determinam a inclinação e intercepto da linha reta. Para encontrar
e
, usamos os pontos inicial
e final
:
Resolvendo essas equações, encontramos
e
.
O trabalho
é a integral de
em relação a
de
a
:
Passo 6
Agora que temos
e
, o trabalho total no ciclo é:
E como
, o calor total recebido pelo gás também é igual ao trabalho total:
Resposta
O calor recebido pelo gás é igual ao trabalho realizado durante todo o ciclo, e a variação da energia interna é zero. Ou seja: