Um mol de um gás ideal, cujo estado inicial é (Pi, Vi), se expande isotermicamente até Vf e, na sequência, retorna ao estado inicial através de uma reta no diagrama P V. Calcule o calor recebido, o trabalho realizado e a variação de energia interna do gás.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um mol de um gás ideal que começa no estado inicial (Pi, Vi). Primeiro, ele se expande de forma isotérmica até um volume final Vf. Depois, ele volta para o estado inicial através de uma linha reta no diagrama P V. A gente precisa calcular três coisas:
  1. O calor recebido pelo gás ( Q)
  2. O trabalho realizado pelo gás ( W)
  3. A variação da energia interna do gás ( De)
Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, como processos isotérmicos, trabalho em processos termodinâmicos e a primeira lei da termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma expansão isotérmica. “Isotérmica” significa que a temperatura do gás permanece constante durante o processo. Para um gás ideal, isso implica que a energia interna ( U) não muda, já que U depende apenas da temperatura. Então, durante a expansão isotérmica:
De

Passo 3

Agora, vamos calcular o trabalho realizado durante a expansão isotérmica. Para um processo isotérmico de um gás ideal, o trabalho W é dado por:
W = nRT ln(VfVi)
Onde:
  • n é o número de mols (1 mol nesse caso),
  • R é a constante dos gases ( 8.314 , J/mol·K),
  • T é a temperatura (constante),
  • Vf e Vi são os volumes final e inicial.
Como De, pela primeira lei da termodinâmica ( De), temos:
0 = Q - W implies Q = W
Então, o calor recebido pelo gás durante a expansão isotérmica é igual ao trabalho realizado.

Passo 4

Depois da expansão isotérmica, o gás retorna ao estado inicial seguindo uma linha reta no diagrama P V. Esse caminho de retorno não é isotérmico, então a variação da energia interna pode não ser zero.
Para calcular o trabalho total realizado no ciclo completo, precisamos considerar os dois processos:
  1. Expansão isotérmica: trabalho W1 = nRT ln(VfVi)
  2. Retorno pela linha reta: trabalho W2 que podemos calcular usando a área sob a curva no diagrama P V.
No entanto, como o ciclo completo retorna ao estado inicial, a variação total da energia interna De.

Passo 5

Vamos agora calcular o trabalho do caminho de retorno. Como a trajetória é uma linha reta no diagrama P V, a relação entre P e V é linear. Podemos expressar P em função de V como:
P = mV + b
Onde m e b são constantes que determinam a inclinação e intercepto da linha reta. Para encontrar m e b, usamos os pontos inicial (Pi, Vi) e final (Pf, Vf):
Pi = mVi + b
Pf = mVf + b
Resolvendo essas equações, encontramos m = Pf - PiVf - Vi e b = Pi Vf - Pf ViVf - Vi.
O trabalho W2 é a integral de P em relação a V de Vf a Vi:
W2 = integralVf^Vi (mV + b) , dV = m (Vi^2 - Vf^22) + b (Vi - Vf)

Passo 6

Agora que temos W1 e W2, o trabalho total no ciclo é:
Wtotal = W1 + W2
E como De, o calor total recebido pelo gás também é igual ao trabalho total:
Qtotal = Wtotal

Resposta

O calor recebido pelo gás é igual ao trabalho realizado durante todo o ciclo, e a variação da energia interna é zero. Ou seja:
Qtotal = Wtotal
De

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