Um motor térmico possui como agente um mol de um gás ideal de constante adiabática
. O motor opera entre duas fontes, através do seguinte ciclo:
: Processo isocórico de
até
: Expansão isobárica de
até
;
: Processo isocórico de
até
;
: Compressão isobárica de
até
. Calcule as temperaturas
(quente) e
(fria) das fontes.
Passo 1
Vamos entender o problema! Temos um motor térmico que utiliza um mol de um gás ideal com constante adiabática
. Esse motor opera em um ciclo com quatro processos diferentes entre duas fontes de calor. Nosso objetivo é encontrar as temperaturas
(fonte quente) e
(fonte fria).
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão (
), volume (
) e temperatura (
) através da fórmula:
onde
é o número de mols e
é a constante dos gases.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada processo do ciclo:
- Processo
(Isocórico): Volume constante. A pressão aumenta de para . - Processo
(Isobárico): Pressão constante. O volume aumenta de para . - Processo
(Isocórico): Volume constante. A pressão diminui de para . - Processo
(Isobárico): Pressão constante. O volume diminui de para .
Vamos usar a Lei dos Gases Ideais para relacionar as temperaturas em cada ponto.
Passo 3
Começamos pelo processo
(Isocórico):
Como o volume é constante, podemos relacionar as pressões e temperaturas nos pontos
e
:
Passo 4
No processo
(Isobárico):
A pressão é constante, então a relação entre volumes e temperaturas é:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, no processo
(Isocórico):
Novamente, com o volume constante, relacionamos pressão e temperatura:
Substituindo
:
Passo 6
Por fim, no processo
(Isobárico):
Pressão constante relaciona volumes e temperaturas:
Substituindo
:
Isso confirma a consistência das nossas equações.
Passo 7
Agora, para encontrar
e
, identificamos que:
-
é a temperatura da fonte quente, que corresponde a . -
é a temperatura da fonte fria, que corresponde a .
Assim, temos:
Resposta
As temperaturas das fontes são
(fonte quente) e
(fonte fria).