Um motor térmico possui como agente um mol de um gás ideal de constante adiabática gamma=7 / 5. O motor opera entre duas fontes, através do seguinte ciclo: a b : Processo isocórico de Pa=10^5 P a até Pb=2 Pa ; b c : Expansão isobárica de Vb=20 cdot 10^-3 m^3 até Vc=32 Vb; c d : Processo isocórico de Pc=2 Pa até Pd=Pa; d a : Compressão isobárica de Vd=32 Vb até Va=Vb. Calcule as temperaturas T1 (quente) e T2 (fria) das fontes.

Passo 1

Vamos entender o problema! Temos um motor térmico que utiliza um mol de um gás ideal com constante adiabática gamma = 75. Esse motor opera em um ciclo com quatro processos diferentes entre duas fontes de calor. Nosso objetivo é encontrar as temperaturas T1 (fonte quente) e T2 (fonte fria).
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão ( P), volume ( V) e temperatura ( T) através da fórmula:
PV = nRT
onde n é o número de mols e R é a constante dos gases.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada processo do ciclo:
  1. Processo a b (Isocórico): Volume constante. A pressão aumenta de Pa para 2Pa.
  2. Processo b c (Isobárico): Pressão constante. O volume aumenta de Vb para 32Vb.
  3. Processo c d (Isocórico): Volume constante. A pressão diminui de 2Pa para Pa.
  4. Processo d a (Isobárico): Pressão constante. O volume diminui de 32Vb para Vb.
Vamos usar a Lei dos Gases Ideais para relacionar as temperaturas em cada ponto.

Passo 3

Começamos pelo processo a b (Isocórico):
Como o volume é constante, podemos relacionar as pressões e temperaturas nos pontos a e b:
PaTa = 2PaTb implies Tb = 2Ta

Passo 4

No processo b c (Isobárico):
A pressão é constante, então a relação entre volumes e temperaturas é:
VbTb = 32VbTc implies Tc = 32Tb
Substituindo Tb = 2Ta:
Tc = 32 times 2Ta = 3Ta

Passo 5

Agora, no processo c d (Isocórico):
Novamente, com o volume constante, relacionamos pressão e temperatura:
2PaTc = PaTd implies Td = Tc2
Substituindo Tc = 3Ta:
Td = 3Ta2

Passo 6

Por fim, no processo d a (Isobárico):
Pressão constante relaciona volumes e temperaturas:
32VbTd = VbTa implies Ta = 23Td
Substituindo Td = 3Ta2:
Ta = 23 times 3Ta2 = Ta
Isso confirma a consistência das nossas equações.

Passo 7

Agora, para encontrar T1 e T2, identificamos que:
  • T1 é a temperatura da fonte quente, que corresponde a Tb = 2Ta.
  • T2 é a temperatura da fonte fria, que corresponde a Ta.
Assim, temos:
T1 = 2Ta e T2 = Ta

Resposta

As temperaturas das fontes são T1 = 2Ta (fonte quente) e T2 = Ta (fonte fria).

Exercícios relacionados