(a) Calcule a frequência quadrática média, fq m=raizlang<= f^2rang<=, de rotação da molécula em torno de um eixo passando pelo centro e perpendicular ao seu eixo de simetria.
(b) Calcule a frequência para o gás nitrogênio, m simeq 2,34 cdot 10^-26 kg e d simeq 1,2 cdot 10^-10 m, à 20^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está relacionada à física molecular, especificamente sobre a rotação de moléculas. Precisamos calcular a frequência quadrática média de rotação de uma molécula em torno de um eixo perpendicular ao seu eixo de simetria e, depois, determinar essa frequência para o gás nitrogênio usando os valores fornecidos. Para isso, vamos precisar entender como a energia de rotação está relacionada à frequência e usar algumas fórmulas básicas de física rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a frequência quadrática média, $ f_{qm} = \sqrt{\langle f^{2} \rangle} $. Essa é uma medida que nos dá uma ideia da média das frequências ao quadrado das rotações possíveis da molécula. Para calcular isso, precisamos relacionar a energia de rotação da molécula com a frequência.
A energia de um nível rotacional é dada por:
fqm = raizlang<= f^2 rang<=
onde:
  • $ E_J $ é a energia do nível rotacional,
  • $ h $ é a constante de Planck,
  • $ f $ é a frequência rotacional,
  • $ J $ é o número quântico rotacional (0, 1, 2, …).

Passo 3

Para encontrar a frequência quadrática média, vamos considerar a média das energias rotacionais. A média quadrática da frequência está relacionada à média da energia:
lang<= E rang<= = h f lang<= J(J+1) rang<=
Como queremos $ f_{qm} = \sqrt{\langle f^{2} \rangle} $, precisamos relacionar isso com a energia média. Assumindo que a distribuição dos níveis rotacionais segue a distribuição de Boltzmann, podemos calcular a média quadrática.
No entanto, para simplificar, vamos considerar que $ \langle J(J+1) \rangle $ é aproximadamente $ k_B T / (h f) $, onde $ k_B $ é a constante de Boltzmann e $ T $ é a temperatura.
Então, temos:
fqm = raizlang<= f^2 rang<=
Mas para simplificar ainda mais, vamos usar a relação direta para $ f_{qm} $:
lang<= J(J+1) rang<=

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa relação para calcular a frequência para o gás nitrogênio. Primeiro, vamos identificar os valores fornecidos:
  • Massa da molécula de nitrogênio, $ m = 2,34 \times 10^{-26} $ kg
  • Distância entre os átomos (comprimento do dipolo), $ d = 1,2 \times 10^{-10} $ m
  • Temperatura, $ T = 20^{\circ}C = 293 $ K
Precisamos calcular o momento de inércia $ I $ da molécula, que é dado por:
m = 2,34 times 10^-26
onde $ \mu $ é a massa reduzida, dada por:
d = 1,2 times 10^-10
pois são dois átomos de nitrogênio iguais.
Então:
T = 20^circC = 293
I

Passo 5

Agora, usamos a relação entre a frequência rotacional e o momento de inércia:
EJ = h^28 pi^2 I J(J+1)
A frequência rotacional $ f $ está relacionada com $ E_J $ por:
f
Comparando as duas equações, temos:
EJ
Substituindo os valores:
EJ = h f J(J+1)
f = h8 pi^2 I

Resposta

A frequência quadrática média de rotação do gás nitrogênio a $ 20^{\circ}C $ é aproximadamente $ 3,93 \times 10^{10} , Hz $.

Exercícios relacionados