(a) Calcule a frequência quadrática média,
, de rotação da molécula em torno de um eixo passando pelo centro e perpendicular ao seu eixo de simetria.
(b) Calcule a frequência para o gás nitrogênio,
e
, à
.
(b) Calcule a frequência para o gás nitrogênio,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está relacionada à física molecular, especificamente sobre a rotação de moléculas. Precisamos calcular a frequência quadrática média de rotação de uma molécula em torno de um eixo perpendicular ao seu eixo de simetria e, depois, determinar essa frequência para o gás nitrogênio usando os valores fornecidos. Para isso, vamos precisar entender como a energia de rotação está relacionada à frequência e usar algumas fórmulas básicas de física rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a frequência quadrática média, $ f_{qm} = \sqrt{\langle f^{2} \rangle} $. Essa é uma medida que nos dá uma ideia da média das frequências ao quadrado das rotações possíveis da molécula. Para calcular isso, precisamos relacionar a energia de rotação da molécula com a frequência.
A energia de um nível rotacional é dada por:
onde:
- $ E_J $ é a energia do nível rotacional,
- $ h $ é a constante de Planck,
- $ f $ é a frequência rotacional,
- $ J $ é o número quântico rotacional (0, 1, 2, …).
Passo 3
Para encontrar a frequência quadrática média, vamos considerar a média das energias rotacionais. A média quadrática da frequência está relacionada à média da energia:
Como queremos $ f_{qm} = \sqrt{\langle f^{2} \rangle} $, precisamos relacionar isso com a energia média. Assumindo que a distribuição dos níveis rotacionais segue a distribuição de Boltzmann, podemos calcular a média quadrática.
No entanto, para simplificar, vamos considerar que $ \langle J(J+1) \rangle $ é aproximadamente $ k_B T / (h f) $, onde $ k_B $ é a constante de Boltzmann e $ T $ é a temperatura.
Então, temos:
Mas para simplificar ainda mais, vamos usar a relação direta para $ f_{qm} $:
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa relação para calcular a frequência para o gás nitrogênio. Primeiro, vamos identificar os valores fornecidos:
- Massa da molécula de nitrogênio, $ m = 2,34 \times 10^{-26} $ kg
- Distância entre os átomos (comprimento do dipolo), $ d = 1,2 \times 10^{-10} $ m
- Temperatura, $ T = 20^{\circ}C = 293 $ K
Precisamos calcular o momento de inércia $ I $ da molécula, que é dado por:
onde $ \mu $ é a massa reduzida, dada por:
pois são dois átomos de nitrogênio iguais.
Então:
Passo 5
Agora, usamos a relação entre a frequência rotacional e o momento de inércia:
A frequência rotacional $ f $ está relacionada com $ E_J $ por:
Comparando as duas equações, temos:
Substituindo os valores:
Resposta
A frequência quadrática média de rotação do gás nitrogênio a $ 20^{\circ}C $ é aproximadamente $ 3,93 \times 10^{10} , Hz $.