Os átomos de uma molécula diatômica, que compõem um gás em equilíbrio térmico à temperatura T, possuem separação média d e massa m.
a) Calcule a frequência quadrática média, fq m=raizlang<= f^2rang<=, de rotação da molécula em torno de um eixo passando pelo centro e perpendicular ao seu eixo de simetria.
b) Calcule a frequência para o gás nitrogênio, m simeq 2,34 cdot 10^-26 kg e d simeq 1,2 cdot 10^-10 m, à 20^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! O exercício fala sobre moléculas diatômicas que compõem um gás em equilíbrio térmico à temperatura $ T $. Cada molécula tem uma separação média entre os átomos de $ d $ e uma massa $ m $.
Vamos precisar usar conceitos de rotacional de moléculas e média quadrática de frequência para resolver as partes a) e b). Basicamente, queremos descobrir como as moléculas estão girando em média nessa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a frequência quadrática média de rotação da molécula. Para isso, precisamos considerar o momento de inércia da molécula e a relação entre energia rotacional e frequência.
O momento de inércia $ I $ de uma molécula diatômica que gira em torno de um eixo perpendicular ao seu eixo de simetria é dado por:
I
Onde $ \mu $ é a massa reduzida das duas partículas, calculada por:
I = mu d^2
Como a molécula é diatômica e os átomos têm a mesma massa $ m $, a massa reduzida fica:
mu
Então, o momento de inércia fica:
mu = m1 m2m1 + m2

Passo 3

Agora, para encontrar a frequência de rotação, usamos a relação entre o momento de inércia e a frequência angular $ \omega $:
omega
A frequência $ f $ está relacionada à frequência angular por:
Erot = 12 I omega^2
Substituindo isso na expressão da energia rotacional:
f
Queremos encontrar a frequência quadrática média $ f_{qm} $, que é a raiz quadrada da média de $ f^2 $:
omega = 2pi f
Assumindo que a energia rotacional média está relacionada à temperatura pelo princípio da equipartição da energia, temos:
Erot = 12 I (2pi f)^2 = 2pi^2 I f^2
Onde $ k_B $ é a constante de Boltzmann.

Passo 4

Resolvendo para $ f_{qm} $:
fqm
Isolando $ f_{qm} $:
12 kB T = 2pi^2 I fqm^2
Substituindo $ I = \frac{m}{2} d^2 $:
fqm

Passo 5

Pronto, agora temos a expressão geral para a frequência quadrática média de rotação:
fqm = raizkB T2pi^2 m d^2

Passo 6

Agora, vamos para a parte b) do exercício, onde precisamos calcular a frequência para o gás nitrogênio com os valores fornecidos:
m simeq 2,34 times 10^-26 , kg
d simeq 1,2 times 10^-10 , m
T = 20^circ C = 293 , K (convertendo para Kelvin)
kB = 1,38 times 10^-23 , J/K
Substituindo esses valores na expressão de $ f_{qm} $:
fqm

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule o denominador:
2pi^2 times 2,34 times 10^-26 times (1,2 times 10^-10)^2 = 2 times (9,8696) times 2,34 times 10^-26 times 1,44 times 10^-20
= 19,7392 times 2,34 times 1,44 times 10^-46
= 19,7392 times 3,3696 times 10^-46
approx 66,493 times 10^-46 = 6,6493 times 10^-45 , J kg m^2
Agora, o numerador:
1,38 times 10^-23 times 293 = 4,0374 times 10^-21 , J
Agora, dividindo numerador pelo denominador:
4,0374 times 10^-216,6493 times 10^-45 approx 6,08 times 10^23
Finalmente, tirando a raiz quadrada:
fqm = raiz6,08 times 10^23 approx 7,8 times 10^11 , Hz

Resposta

A frequência quadrática média de rotação para o gás nitrogênio às $ 20^{\circ} \mathrm{C} $ é aproximadamente $ 7,8 \times 10^{11} , Hz $.

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