Os átomos de uma molécula diatômica, que compõem um gás em equilíbrio térmico à temperatura
, possuem separação média
e massa
.
a) Calcule a frequência quadrática média,
, de rotação da molécula em torno de um eixo passando pelo centro e perpendicular ao seu eixo de simetria.
b) Calcule a frequência para
gás nitrogênio,
e
, à
.
a) Calcule a frequência quadrática média,
b) Calcule a frequência para
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! O exercício fala sobre moléculas diatômicas que compõem um gás em equilíbrio térmico à temperatura $ T $. Cada molécula tem uma separação média entre os átomos de $ d $ e uma massa $ m $.
Vamos precisar usar conceitos de rotacional de moléculas e média quadrática de frequência para resolver as partes a) e b). Basicamente, queremos descobrir como as moléculas estão girando em média nessa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a frequência quadrática média de rotação da molécula. Para isso, precisamos considerar o momento de inércia da molécula e a relação entre energia rotacional e frequência.
O momento de inércia $ I $ de uma molécula diatômica que gira em torno de um eixo perpendicular ao seu eixo de simetria é dado por:
Onde $ \mu $ é a massa reduzida das duas partículas, calculada por:
Como a molécula é diatômica e os átomos têm a mesma massa $ m $, a massa reduzida fica:
Então, o momento de inércia fica:
Passo 3
Agora, para encontrar a frequência de rotação, usamos a relação entre o momento de inércia e a frequência angular $ \omega $:
A frequência $ f $ está relacionada à frequência angular por:
Substituindo isso na expressão da energia rotacional:
Queremos encontrar a frequência quadrática média $ f_{qm} $, que é a raiz quadrada da média de $ f^2 $:
Assumindo que a energia rotacional média está relacionada à temperatura pelo princípio da equipartição da energia, temos:
Onde $ k_B $ é a constante de Boltzmann.
Passo 4
Resolvendo para $ f_{qm} $:
Isolando $ f_{qm} $:
Substituindo $ I = \frac{m}{2} d^2 $:
Passo 5
Pronto, agora temos a expressão geral para a frequência quadrática média de rotação:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b) do exercício, onde precisamos calcular a frequência para o gás nitrogênio com os valores fornecidos:
Substituindo esses valores na expressão de $ f_{qm} $:
Passo 7
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule o denominador:
Agora, o numerador:
Agora, dividindo numerador pelo denominador:
Finalmente, tirando a raiz quadrada:
Resposta
A frequência quadrática média de rotação para o gás nitrogênio às $ 20^{\circ} \mathrm{C} $ é aproximadamente $ 7,8 \times 10^{11} , Hz $.