A envoltória de um balão de ar quente possui massa
e volume
. Quando inflado completamente, qual deverá ser a temperatura do ar no interior do balão para que ele seja capaz de erguer uma carga
(além da própria massa
e da massa de ar dentro da envoltória)? O ar externo está a
e possui densidade
. Dica: pense sobre quais variáveis termodinâmicas do sistema (ar dentro do balão) são constantes.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um balão de ar quente com uma massa $ m_1 $ e volume $ V $. Queremos descobrir qual deve ser a temperatura do ar dentro desse balão para que ele possa levantar uma carga adicional de massa $ m_2 $, além da própria massa do balão e do ar que está dentro dele. Sabemos que a temperatura do ar externo é $ T_0 $ e a densidade é $ \rho_0 $.
Vamos precisar usar conceitos de densidade, força de empuxo e equilíbrio de forças para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força que empurra o balão para cima é a força de empuxo, que depende do volume do balão e da densidade do ar externo. A força de empuxo é dada por:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Agora, a força que está puxando o balão para baixo é o peso total, que inclui a massa do balão $ m_1 $, a massa da carga $ m_2 $ e a massa do ar dentro do balão. O peso total é:
Precisamos encontrar $ m_{ar} $, a massa do ar dentro do balão.
Passo 4
Para encontrar a massa do ar dentro do balão $ m_{ar} $, usamos a densidade do ar dentro do balão $ \rho $ e o volume $ V $:
Passo 5
Sabemos que a densidade do ar dentro do balão depende da temperatura. Usando a Lei dos Gases Ideais, podemos relacionar a densidade do ar dentro e fora do balão:
Onde $ T $ é a temperatura do ar dentro do balão que queremos encontrar.
Passo 6
Agora, igualamos a força de empuxo à força peso para que o balão possa levantar a carga:
Podemos cancelar $ g $ dos dois lados:
Passo 7
Substituímos $ \rho $ pela expressão que encontramos na Passo 5:
Passo 8
Vamos isolar os termos que contêm $ T $:
Passo 9
Dividimos ambos os lados por $ \rho_0 \cdot V $:
Simplificando a fração:
Passo 10
Agora, isolamos $ T $:
Resposta
A temperatura do ar dentro do balão precisa ser: