A partir da equação das adiabáticas do gás ideal,
const., mostre que
const. e
const. (As constantes não são necessariamente iguais.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para, a partir da equação das adiabáticas do gás ideal, que é $ P V^{\gamma} = constante $, mostrar que $ T V^{\gamma-1} = constante $ e também que $ \frac{T}{P^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}} = constante $. Vamos precisar usar a lei dos gases ideais e manipular essas equações de forma tranquila.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da lei dos gases ideais, que diz que $ P V = n R T $, onde:
- $ P $ é a pressão,
- $ V $ é o volume,
- $ n $ é a quantidade de matéria,
- $ R $ é a constante dos gases,
- $ T $ é a temperatura.
Essa relação vai ser essencial para conectar as variáveis entre si.
Passo 3
Temos a equação adiabática do gás ideal: $ P V^{\gamma} = constante $. Vamos chamar essa constante de $ C_1 $ para facilitar:
Nosso objetivo é relacionar $ T $ e $ V $, então vamos usar a lei dos gases ideais para expressar $ P $ em termos de $ T $ e $ V $.
Passo 4
Da lei dos gases ideais $ P V = n R T $, podemos isolar $ P $:
Agora, substituímos essa expressão de $ P $ na equação adiabática:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Ou seja:
Como $ \frac{C_1}{n R} $ também é uma constante, podemos chamar de $ C_2 $:
Isso mostra que $ T V^{\gamma - 1} $ é constante.
Passo 6
Agora, vamos mostrar que $ \frac{T}{P^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}} = constante $.
Vamos partir da equação adiabática:
Isolando $ V^{\gamma} $:
Agora, vamos elevar ambos os lados a $ \frac{1}{\gamma} $ para isolar $ V $:
Passo 7
Vamos substituir $ V $ na relação que encontramos anteriormente, $ T V^{\gamma - 1} = C_2 $:
Podemos reorganizar essa equação para isolar $ \frac{T}{P^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}} $:
Como $ \frac{C_2}{C_1^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}} $ também é uma constante, vamos chamar de $ C_3 $:
Isso mostra que $ \frac{T}{P^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}} $ é constante.
Resposta
Assim, demonstramos que a partir de $ P V^{\gamma} = constante $:
- $ T V^{\gamma - 1} = constante $
- $ \frac{T}{P^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}} = constante $