A partir da equação das adiabáticas do gás ideal, P V^gamma= const., mostre que T V^gamma-1= const. e TP^gamma-1gamma= const. (As constantes não são necessariamente iguais.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para, a partir da equação das adiabáticas do gás ideal, que é $ P V^{\gamma} = constante $, mostrar que $ T V^{\gamma-1} = constante $ e também que $ \frac{T}{P^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}} = constante $. Vamos precisar usar a lei dos gases ideais e manipular essas equações de forma tranquila.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da lei dos gases ideais, que diz que $ P V = n R T $, onde:
  • $ P $ é a pressão,
  • $ V $ é o volume,
  • $ n $ é a quantidade de matéria,
  • $ R $ é a constante dos gases,
  • $ T $ é a temperatura.
Essa relação vai ser essencial para conectar as variáveis entre si.

Passo 3

Temos a equação adiabática do gás ideal: $ P V^{\gamma} = constante $. Vamos chamar essa constante de $ C_1 $ para facilitar:
P V^gamma = constante
Nosso objetivo é relacionar $ T $ e $ V $, então vamos usar a lei dos gases ideais para expressar $ P $ em termos de $ T $ e $ V $.

Passo 4

Da lei dos gases ideais $ P V = n R T $, podemos isolar $ P $:
P V = n R T
Agora, substituímos essa expressão de $ P $ na equação adiabática:
P

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
n R T V^gamma - 1 = C1
Ou seja:
T V^gamma - 1 = C1n R
Como $ \frac{C_1}{n R} $ também é uma constante, podemos chamar de $ C_2 $:
C1n R
Isso mostra que $ T V^{\gamma - 1} $ é constante.

Passo 6

Agora, vamos mostrar que $ \frac{T}{P^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}} = constante $.
Vamos partir da equação adiabática:
TP^gamma - 1gamma = constante
Isolando $ V^{\gamma} $:
P V^gamma = C1
Agora, vamos elevar ambos os lados a $ \frac{1}{\gamma} $ para isolar $ V $:
V^gamma

Passo 7

Vamos substituir $ V $ na relação que encontramos anteriormente, $ T V^{\gamma - 1} = C_2 $:
V
Podemos reorganizar essa equação para isolar $ \frac{T}{P^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}} $:
T V^gamma - 1 = C2
Como $ \frac{C_2}{C_1^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}} $ também é uma constante, vamos chamar de $ C_3 $:
T ( C1P )^gamma - 1gamma = C2
Isso mostra que $ \frac{T}{P^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}} $ é constante.

Resposta

Assim, demonstramos que a partir de $ P V^{\gamma} = constante $:
  1. $ T V^{\gamma - 1} = constante $
  2. $ \frac{T}{P^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}} = constante $

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