Uma atração de parque de diversōes consiste de um carro que está fixo ao cabo
. O carro gira em uma trajetória circular horizontal e atinge velocidade
, quando
. O cabo é entăo recolhido a uma taxa constante de
. Determine a velocidade do carro em 3 segundos.
Passo 1
Resumo da Questão e Conteúdo Necessário
Temos um carro fixo a um cabo
que se move em uma trajetória circular horizontal. Inicialmente, o carro atinge uma velocidade de
com um raio de
. O cabo é recolhido à uma taxa constante de
. Queremos determinar a velocidade do carro após
segundos.
Conteúdo da Matéria:
- Movimento Circular: Estudo das propriedades do movimento em trajetórias circulares.
- Conservação do Momento Angular: Em sistemas sem torque externo, o momento angular é constante.
- Relação entre Velocidade Linear e Angular:
, onde é a velocidade angular.
O Que Precisamos:
- Entender como a redução do raio afeta a velocidade do carro.
- Aplicar a conservação do momento angular para relacionar as velocidades inicial e final.
Passo 2
Entendendo a Conservação do Momento Angular
No movimento circular, o momento angular
é dado por:
onde:
-
é a massa do carro, -
é a velocidade linear, -
é o raio da trajetória.
Se não há torque externo agindo no sistema, o momento angular é conservado, ou seja:
Aqui,
e
são a velocidade e o raio iniciais, e
e
são a velocidade e o raio após o tempo
.
Passo 3
Calculando o Novo Raio Após 3 Segundos
Sabemos que o cabo está sendo recolhido a uma taxa de
. Portanto, após
segundos, a redução no raio
é:
Assim, o novo raio
será:
Passo 4
Aplicando a Conservação do Momento Angular para Encontrar
Como o momento angular é conservado:
Queremos encontrar
:
Passo 5
Calculando o Valor Final de
Vamos realizar os cálculos:
Resposta
Após 3 segundos, a velocidade do carro será aproximadamente
.
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.