Uma atração de parque de diversōes consiste de um carro que está fixo ao cabo . O carro gira em uma trajetória circular horizontal e atinge velocidade , quando . O cabo é entăo recolhido a uma taxa constante de . Determine a velocidade do carro em 3 segundos.

Passo 1

Resumo da Questão e Conteúdo Necessário
Temos um carro fixo a um cabo que se move em uma trajetória circular horizontal. Inicialmente, o carro atinge uma velocidade de com um raio de . O cabo é recolhido à uma taxa constante de . Queremos determinar a velocidade do carro após segundos.
Conteúdo da Matéria:
  • Movimento Circular: Estudo das propriedades do movimento em trajetórias circulares.
  • Conservação do Momento Angular: Em sistemas sem torque externo, o momento angular é constante.
  • Relação entre Velocidade Linear e Angular: , onde é a velocidade angular.
O Que Precisamos:
  • Entender como a redução do raio afeta a velocidade do carro.
  • Aplicar a conservação do momento angular para relacionar as velocidades inicial e final.

Passo 2

Entendendo a Conservação do Momento Angular
No movimento circular, o momento angular é dado por:
onde:
  • é a massa do carro,
  • é a velocidade linear,
  • é o raio da trajetória.
Se não há torque externo agindo no sistema, o momento angular é conservado, ou seja:
Aqui, e são a velocidade e o raio iniciais, e e são a velocidade e o raio após o tempo .

Passo 3

Calculando o Novo Raio Após 3 Segundos
Sabemos que o cabo está sendo recolhido a uma taxa de . Portanto, após segundos, a redução no raio é:
Assim, o novo raio será:

Passo 4

Aplicando a Conservação do Momento Angular para Encontrar
Como o momento angular é conservado:
Queremos encontrar :

Passo 5

Calculando o Valor Final de
Vamos realizar os cálculos:

Resposta

Após 3 segundos, a velocidade do carro será aproximadamente .

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