O tempo próprio de vida
dos múons é da ordem de
. Se um feixe de múons penetra a atmosfera, a 10 km de altura, com velocidade de
, estime: O número de múons que chega ao sólo de acordo com a teoria relativística.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre muons cuja vida própria é de aproximadamente
. A gente tem um feixe desses muons que entra na atmosfera a 10 km de altura, viajando bem rápido, a
(onde
é a velocidade da luz). Nosso objetivo é estimar quantos muons conseguem chegar ao chão, usando a teoria da relatividade.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de relatividade especial, como a dilatação do tempo, e usar fórmulas que relacionam a velocidade dos muons com o tempo que eles levam para atingir o solo. Também vamos usar a equação do decaimento exponencial para calcular a quantidade de muons que sobrevivem até o chão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a dilatação do tempo. Segundo a teoria da relatividade especial, o tempo medido em um referencial em movimento (como o do muon) é diferente do tempo medido em um referencial estacionário (como o da Terra). A relação entre esses tempos é dada pelo fator de Lorentz (
):
Onde:
-
é a velocidade do muon ( nesse caso) -
é a velocidade da luz ( )
Esse fator vai nos ajudar a calcular o tempo dilatado que o muon “vive” conforme medido na Terra.
Passo 3
Vamos calcular o fator de Lorentz (
) para
:
Isso significa que o tempo de vida do muon, conforme medido na Terra, é multiplicado por aproximadamente 7,09 devido à dilatação do tempo.
Passo 4
Agora, vamos calcular o tempo que o muon leva para viajar de 10 km até o solo:
Então, o tempo que o muon leva para atingir o solo, conforme medido na Terra, é de aproximadamente
.
Passo 5
Sabemos que o tempo de vida próprio do muon é
. Com a dilatação do tempo, o tempo de vida medido na Terra é:
Agora, para encontrar a fração de muons que sobrevivem até o solo, usamos a lei de decaimento exponencial:
Onde:
-
é o número de muons que chegam ao solo -
é o número inicial de muons -
é o tempo de viagem ( ) -
é o tempo de vida dilatado ( )
Substituindo os valores:
Isso significa que aproximadamente
dos muons conseguem chegar ao solo.
Resposta
Aproximadamente
dos muons do feixe conseguem chegar ao solo de acordo com a teoria relativística.
Exercícios relacionados
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. O carro gira em uma trajetória circular horizontal e atinge velocidade
, quando
. O cabo é entăo recolhido a uma taxa constante de
. Determine a velocidade do carro em 3 segundos.
O tempo próprio de vida
dos múons é da ordem de
. Se um feixe de múons penetra a atmosfera, a 10 km de altura, com velocidade de
, estime: O tempo de vida dos múons para um observador no solo.
Um homem de massa
e uma mulher de massa
estão parados nas extremidades opostas de uma plataforma de massa
, que se move sem atrito e está inicialmente em repouso quando
. O homem e a mulher começam a se aproximar um do outro. Desenvolva uma expressão para o deslocamento s da plataforma quando os dois se encontram em função do deslocamento
do homem. Resp:
.
A placa triangular
é sustentada por juntas rotuladas em B e D e mantida na posição mostrada pelos cabos AE e CF. Se a força exercida pelo cabo AE em A é de 55N, determine o momento dessa força em relação à linha que une os pontos D e B.