O tempo próprio de vida (tau0) dos múons é da ordem de 2,2 mu s. Se um feixe de múons penetra a atmosfera, a 10 km de altura, com velocidade de 0,99 c, estime: O número de múons que chega ao sólo de acordo com a teoria relativística.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre muons cuja vida própria é de aproximadamente . A gente tem um feixe desses muons que entra na atmosfera a 10 km de altura, viajando bem rápido, a (onde é a velocidade da luz). Nosso objetivo é estimar quantos muons conseguem chegar ao chão, usando a teoria da relatividade.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de relatividade especial, como a dilatação do tempo, e usar fórmulas que relacionam a velocidade dos muons com o tempo que eles levam para atingir o solo. Também vamos usar a equação do decaimento exponencial para calcular a quantidade de muons que sobrevivem até o chão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a dilatação do tempo. Segundo a teoria da relatividade especial, o tempo medido em um referencial em movimento (como o do muon) é diferente do tempo medido em um referencial estacionário (como o da Terra). A relação entre esses tempos é dada pelo fator de Lorentz ( gamma = 1raiz1 - (vc)^2 ):
Onde:
  • é a velocidade do muon ( nesse caso)
  • é a velocidade da luz ( )
Esse fator vai nos ajudar a calcular o tempo dilatado que o muon “vive” conforme medido na Terra.

Passo 3

Vamos calcular o fator de Lorentz ( gamma = 1raiz1 - (0,99)^2 = 1raiz1 - 0,9801 = 1raiz0,0199 approx 10,141 approx 7,09 ) para :
Isso significa que o tempo de vida do muon, conforme medido na Terra, é multiplicado por aproximadamente 7,09 devido à dilatação do tempo.

Passo 4

Agora, vamos calcular o tempo que o muon leva para viajar de 10 km até o solo:
Distância = 10 , km = 10.000 , m â
v = 0,99 , c = 0,99 times 3 times 10^8 , m/s approx 2,97 times 10^8 , m/s
t = DistânciaVelocidade = 10.000 , m2,97 times 10^8 , m/s approx 3,37 times 10^-5 , s = 33.7 , mus â
Então, o tempo que o muon leva para atingir o solo, conforme medido na Terra, é de aproximadamente .

Passo 5

Sabemos que o tempo de vida próprio do muon é tau = gamma tau0 = 7,09 times 2,2 , mus approx 15,6 , mus . Com a dilatação do tempo, o tempo de vida medido na Terra é:
N = N0 e^- ttau
Agora, para encontrar a fração de muons que sobrevivem até o solo, usamos a lei de decaimento exponencial:
N = N0 e^- 33,715,6 = N0 e^-2,16 approx N0 times 0,115
Onde:
  • é o número de muons que chegam ao solo
  • é o número inicial de muons
  • é o tempo de viagem ( )
  • é o tempo de vida dilatado ( )
Substituindo os valores:
Isso significa que aproximadamente dos muons conseguem chegar ao solo.

Resposta

Aproximadamente dos muons do feixe conseguem chegar ao solo de acordo com a teoria relativística.

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