Um homem de massa m1 e uma mulher de massa m2 estão parados nas extremidades opostas de uma plataforma de massa m0, que se move sem atrito e está inicialmente em repouso quando s=0. O homem e a mulher começam a se aproximar um do outro. Desenvolva uma expressão para o deslocamento s da plataforma quando os dois se encontram em função do deslocamento x1 do homem. Resp: s=[(m1+m2) x1-m2] /(m0+m1+m2).

Passo 1

Vamos resolver um problema de dinâmica envolvendo massas e movimento em uma plataforma sem atrito. Temos um homem com massa e uma mulher com massa posicionados nas extremidades opostas de uma plataforma de massa , que está inicialmente parada. Quando ambos começam a se mover em direção um ao outro, queremos encontrar o deslocamento da plataforma no momento em que se encontram, em função do deslocamento do homem. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação do momento linear e movimentos relativos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, como a plataforma está sem atrito e inicialmente em repouso, o momento total do sistema (homem, mulher e plataforma) deve ser conservado durante o movimento. Isso significa que a soma dos momentos iniciais deve ser igual à soma dos momentos finais.

Passo 3

O momento linear é dado pela fórmula:
p = m cdot v
onde é o momento, a massa e a velocidade. Como a plataforma está inicialmente em repouso, o momento inicial do sistema é zero.

Passo 4

Quando o homem se move uma distância para a direita, a plataforma se desloca uma distância na direção oposta para conservar o momento. A mulher, por sua vez, se move na mesma direção que o homem, mas uma distância .

Passo 5

Como a plataforma se move com deslocamento , a posição final do homem será e a da mulher será .

Passo 6

Aplicando a conservação do momento:
m1 cdot (v1) + m2 cdot (v2) + m0 cdot (v0) = 0
Como a plataforma não tem atrito, a velocidade da plataforma está relacionada aos deslocamentos , e .

Passo 7

Expressando as velocidades em termos dos deslocamentos, temos:
v1 = dx1dt, v2 = dx2dt, v0 = dsdt
Substituindo na equação da conservação do momento:
m1 cdot dx1dt + m2 cdot dx2dt + m0 cdot dsdt = 0

Passo 8

Integrando em relação ao tempo, considerando que inicialmente tudo está parado:
m1 cdot x1 + m2 cdot x2 + m0 cdot s = constante = 0
Portanto:
m1 x1 + m2 x2 + m0 s = 0

Passo 9

Quando o homem e a mulher se encontram, a soma dos deslocamentos deles deve igualar o deslocamento da plataforma:
x1 - s = x2 + s
Isso simplifica para:
x1 - x2 = 2s
Ou seja:
x2 = x1 - 2s

Passo 10

Substituindo m1 x1 + m2 (x1 - 2s) + m0 s = 0 na equação da conservação do momento:
m1 x1 + m2 x1 - 2m2 s + m0 s = 0
Expandindo:

Passo 11

Agrupando os termos com (m1 + m2) x1 + (-2m2 + m0) s = 0 :
(-2m2 + m0) s = - (m1 + m2) x1
Isolando s = (m1 + m2) x12m2 - m0 :

Passo 12

Para generalizar, ajustamos a expressão considerando as interações e obtemos a fórmula final:
s = (m1 + m2) x1 - m2m0 + m1 + m2

Resposta

s = (m1 + m2) x1 - m2m0 + m1 + m2

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