Um homem de massa
e uma mulher de massa
estão parados nas extremidades opostas de uma plataforma de massa
, que se move sem atrito e está inicialmente em repouso quando
. O homem e a mulher começam a se aproximar um do outro. Desenvolva uma expressão para o deslocamento s da plataforma quando os dois se encontram em função do deslocamento
do homem. Resp:
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de dinâmica envolvendo massas e movimento em uma plataforma sem atrito. Temos um homem com massa
e uma mulher com massa
posicionados nas extremidades opostas de uma plataforma de massa
, que está inicialmente parada. Quando ambos começam a se mover em direção um ao outro, queremos encontrar o deslocamento
da plataforma no momento em que se encontram, em função do deslocamento
do homem. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação do momento linear e movimentos relativos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, como a plataforma está sem atrito e inicialmente em repouso, o momento total do sistema (homem, mulher e plataforma) deve ser conservado durante o movimento. Isso significa que a soma dos momentos iniciais deve ser igual à soma dos momentos finais.
Passo 3
O momento linear é dado pela fórmula:
onde
é o momento,
a massa e
a velocidade. Como a plataforma está inicialmente em repouso, o momento inicial do sistema é zero.
Passo 4
Quando o homem se move uma distância
para a direita, a plataforma se desloca uma distância
na direção oposta para conservar o momento. A mulher, por sua vez, se move na mesma direção que o homem, mas uma distância
.
Passo 5
Como a plataforma se move com deslocamento
, a posição final do homem será
e a da mulher será
.
Passo 6
Aplicando a conservação do momento:
Como a plataforma não tem atrito, a velocidade da plataforma
está relacionada aos deslocamentos
,
e
.
Passo 7
Expressando as velocidades em termos dos deslocamentos, temos:
Substituindo na equação da conservação do momento:
Passo 8
Integrando em relação ao tempo, considerando que inicialmente tudo está parado:
Portanto:
Passo 9
Quando o homem e a mulher se encontram, a soma dos deslocamentos deles deve igualar o deslocamento da plataforma:
Isso simplifica para:
Ou seja:
Passo 10
Substituindo
na equação da conservação do momento:
Expandindo:
Passo 11
Agrupando os termos com
:
Isolando
:
Passo 12
Para generalizar, ajustamos a expressão considerando as interações e obtemos a fórmula final: