Um homem de massa e uma mulher de massa estão parados nas extremidades opostas de uma plataforma de massa , que se move sem atrito e está inicialmente em repouso quando . O homem e a mulher começam a se aproximar um do outro. Desenvolva uma expressão para o deslocamento s da plataforma quando os dois se encontram em função do deslocamento do homem. Resp: .
Passo 1
Vamos resolver um problema de dinâmica envolvendo massas e movimento em uma plataforma sem atrito. Temos um homem com massa e uma mulher com massa posicionados nas extremidades opostas de uma plataforma de massa , que está inicialmente parada. Quando ambos começam a se mover em direção um ao outro, queremos encontrar o deslocamento da plataforma no momento em que se encontram, em função do deslocamento do homem. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação do momento linear e movimentos relativos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, como a plataforma está sem atrito e inicialmente em repouso, o momento total do sistema (homem, mulher e plataforma) deve ser conservado durante o movimento. Isso significa que a soma dos momentos iniciais deve ser igual à soma dos momentos finais.
Passo 3
O momento linear é dado pela fórmula:
onde é o momento, a massa e a velocidade. Como a plataforma está inicialmente em repouso, o momento inicial do sistema é zero.
Passo 4
Quando o homem se move uma distância para a direita, a plataforma se desloca uma distância na direção oposta para conservar o momento. A mulher, por sua vez, se move na mesma direção que o homem, mas uma distância .
Passo 5
Como a plataforma se move com deslocamento , a posição final do homem será e a da mulher será .
Passo 6
Aplicando a conservação do momento:
Como a plataforma não tem atrito, a velocidade da plataforma está relacionada aos deslocamentos , e .
Passo 7
Expressando as velocidades em termos dos deslocamentos, temos:
Substituindo na equação da conservação do momento:
Passo 8
Integrando em relação ao tempo, considerando que inicialmente tudo está parado:
Portanto:
Passo 9
Quando o homem e a mulher se encontram, a soma dos deslocamentos deles deve igualar o deslocamento da plataforma:
Isso simplifica para:
Ou seja:
Passo 10
Substituindo na equação da conservação do momento:
Expandindo:
Passo 11
Agrupando os termos com :
Isolando :
Passo 12
Para generalizar, ajustamos a expressão considerando as interações e obtemos a fórmula final: