Através de integrais triplas, determine o volume do sólido limitado pelo cilindro , pelo plano e pelo plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está limitado por três superfícies: o cilindro , o plano e o plano (que é o plano onde ). Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a calcular volumes de regiões no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. Olhando para o cilindro , vemos que ele se estende ao longo do eixo . O plano nos dá uma relação entre e , e o plano nos mostra que .
Para encontrar os limites de e , notamos que quando , a equação do plano fica . Como , os valores de vão de a (porque quando ). Então, varia de a , e para cada , varia de até .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para . Sabemos que está entre o plano () e o plano . Resolvendo a equação para , temos . Portanto, para cada ponto , varia de até .
Passo 4
Com os limites de integração definidos, podemos configurar a integral tripla para calcular o volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar agora em relação a :
Calculando isso:
Então, a integral agora é:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a . Como a função é par (símmetrica em relação ao eixo ), podemos simplificar calculando o dobro da integral de a :