Através de integrais triplas, determine o volume do sólido limitado pelo cilindro y = x^2, pelo plano y + z = 4 e pelo plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está limitado por três superfícies: o cilindro , o plano e o plano (que é o plano onde ). Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a calcular volumes de regiões no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. Olhando para o cilindro , vemos que ele se estende ao longo do eixo . O plano nos dá uma relação entre e , e o plano nos mostra que .
Para encontrar os limites de e , notamos que quando , a equação do plano fica . Como , os valores de vão de a (porque quando ). Então, varia de a , e para cada , varia de até .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para . Sabemos que está entre o plano ( ) e o plano . Resolvendo a equação para , temos . Portanto, para cada ponto , varia de até .

Passo 4

Com os limites de integração definidos, podemos configurar a integral tripla para calcular o volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar agora em relação a :
Calculando isso:
Então, a integral agora é:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a . Como a função é par (símmetrica em relação ao eixo ), podemos simplificar calculando o dobro da integral de a :
Integrando termo a termo:
Somando tudo:
Multiplicando por 2:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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