Calcule: , onde está abaixo do plano e acima da região triangular com vértices e , onde está abaixo do plano e acima da região do plano limitada pelas curvas , onde é limitado pelos cilindros parabólicos e pelos planos , onde é o tetraedro sólido com vértices , e , onde é o tetraedro sólido com vértices , e , onde é limitado pelo paraboloide pelo plano , onde é limitado pelo cilindro e pelos planos no primeiro octante
Passo 1
Vamos analisar o primeiro cálculo: . Aqui, estamos lidando com uma integral tripla onde a região está abaixo do plano e acima da região triangular no plano com vértices em , e . Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente a definição de integrais triplas e a definição dos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração para a região . A base da região está no plano , formando um triângulo com os pontos dados. No eixo , vai de a , e para cada , varia de a (já que a hipotenusa do triângulo é a linha ). Finalmente, para cada ponto , varia de até o plano .
Passo 3
Agora, podemos escrever a integral tripla com os limites definidos:
Passo 4
Vamos integrar em relação a primeiro. Como não depende de , a integral fica:
Então, a integral se simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos em relação a :
Sabemos que , então:
Passo 6
Por fim, integramos em relação a :
A primeira integral pode ser resolvida por partes:
A segunda integral é simples:
Então, avaliando de a :
Passo 7
Agora, vamos para o segundo cálculo: . A região está abaixo do plano e acima da região no plano limitada pelas curvas , e . Vamos precisar definir os limites de integração apropriados para essa região.
Passo 8
Primeiro, determinamos os limites no plano . A curva se estende de a . Para cada nesse intervalo, varia de a . Para , ele vai de até o plano .
Passo 9
Escrevemos a integral tripla com esses limites:
Passo 10
Integramos em relação a primeiro:
A integral se torna:
integral0^1 integral0^raizx 6xy (1 + x + y) , dy , dx
Passo 11
Distribuímos e integramos em relação a y:
6x integral0^raizx y (1 + x + y) , dy = 6x [ integral y , dy + x integral y , dy + integral y^2 , dy ] = 6x [ y^22 + x y^22 + y^33 ]0^raizx
Agora, vamos calcular a terceira integral: integral triplaE xy , dV. A região E é limitada pelos cilindros parabólicos y = x^2 e x = y^2, além dos planos z = 0 e z = x + y. Vamos entender como esses limites definem a região de integração.
Passo 14
Primeiro, determinamos a região no plano xy onde y = x^2 e x = y^2. Encontramos os pontos de interseção resolvendo y = x^2 e x = y^2. Isso ocorre quando x = x^4, ou seja, x=0 e x=1. Assim, a região está entre x=0 a x=1, e para cada x, y varia de x^2 a raizx.
Para z, ele varia de 0 até z = x + y.
Passo 15
Escrevemos a integral tripla com os limites definidos:
integralx=0^1 integraly=x^2^raizx integralz=0^x + y xy , dz , dy , dx
Passo 16
Integramos em relação a z:
integralz=0^x + y xy , dz = xy cdot z g|0^x + y = xy (x + y)
A integral se torna:
integral0^1 integralx^2^raizx xy (x + y) , dy , dx
Passo 17
Distribuímos e integramos em relação a y:
integralx^2^raizx x^2 y + x y^2 , dy = x^2 cdot y^22 + x cdot y^33 g|x^2^raizx
Vamos calcular a quarta integral: integral triplaT x^2 , dV, onde T é o tetraedro com vértices em (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Aqui, estamos lidando com um tetraedro no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pela interseção dos planos x + y + z = 1.
Passo 20
Os limites de integração para x, y e z dentro do tetraedro são:
x varia de 0 a 1,
Para cada x, y varia de 0 a 1 - x,
Para cada (x,y), z varia de 0 a 1 - x - y.
Passo 21
Escrevemos a integral tripla:
integralx=0^1 integraly=0^1 - x integralz=0^1 - x - y x^2 , dz , dy , dx
Passo 22
Integramos em relação a z:
integralz=0^1 - x - y x^2 , dz = x^2 cdot z g|0^1 - x - y = x^2 (1 - x - y)
A integral se torna:
integral0^1 integral0^1 - x x^2 (1 - x - y) , dy , dx
Vamos para a quinta integral: integral triplaT xyz , dV, onde T é o tetraedro com vértices em (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0) e (1,0,1). Este tetraedro está limitado pelos planos coordenados e pelas interseções dadas.
Passo 26
Primeiro, identificamos os limites de integração. Aqui, x varia de 0 a 1. Para cada x, y varia de 0 a 1 - z, e z varia de 0 a 1 - y. No entanto, devido aos vértices, uma melhor parametrização é necessária.
Observando os vértices, a equação que limita o tetraedro pode ser derivada das interseções dos planos. Vamos definir os limites de y e z em função de x.
Após análise, para cada x, y varia de 0 a 1 - x, e para cada (x,y), z varia de 0 a 1 - x.
Passo 27
Escrevemos a integral tripla:
integralx=0^1 integraly=0^1 - x integralz=0^1 - x xyz , dz , dy , dx
Passo 28
Integramos em relação a z:
integralz=0^1 - x xyz , dz = xy cdot z^22 g|0^1 - x = xy cdot (1 - x)^22
A integral se torna:
12 integral0^1 integral0^1 - x xy (1 - x)^2 , dy , dx
Passo 29
Integramos em relação a y:
12 integral0^1 x (1 - x)^2 integral0^1 - x y , dy , dx = 12 integral0^1 x (1 - x)^2 cdot (1 - x)^22 , dx = 14 integral0^1 x (1 - x)^4 , dx
Passo 30
Para integrar integral0^1 x (1 - x)^4 , dx, usamos substituição ou expansão:
integral x (1 - x)^4 , dx = integral x (1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4) dx = integral (x - 4x^2 + 6x^3 - 4x^4 + x^5) dx = x^22 - 4x^33 + 6x^44 - 4x^55 + x^66 g|0^1
Vamos para a sexta integral: integral triplaE x , dV, onde E é limitado pelo paraboloide x = 4y^2 + 4z^2 e pelo plano x = 4. Precisamos definir os limites de integração para essa região.
Passo 32
Primeiro, observamos que o paraboloide x = 4y^2 + 4z^2 se abre ao longo do eixo x, e intersecta o plano x=4 quando 4 = 4y^2 + 4z^2, ou seja, quando y^2 + z^2 = 1. Isso define um círculo de raio 1 no plano x=4.
Para facilitar, usamos coordenadas cilíndricas, onde y = rcostheta, z = rsintheta, e r varia de 0 a 1, theta de 0 a 2pi, e x de 4r^2 a 4.
Passo 33
Em coordenadas cilíndricas, a integral fica:
integraltheta=0^2pi integralr=0^1 integralx=4r^2^4 x cdot r , dx , dr , dtheta
Finalmente, vamos calcular a sétima integral: integral triplaE z , dV, onde E é limitado pelo cilindro y^2 + z^2 = 9 e pelos planos x = 0, y = 3x e z = 0 no primeiro octante. Precisamos definir os limites de integração para essa região.
Passo 37
Primeiro, notamos que no primeiro octante, x, y e z são positivos. O cilindro y^2 + z^2 = 9 tem raio 3, e limitado por z=0, ou seja, apenas a metade superior do cilindro está incluída.
O plano y = 3x relaciona x e y. Para cada x, y varia de 3x até a frente do cilindro, dado por y = raiz9 - z^2. Porém, como y e z são coordenados ligados pelo cilindro, é mais conveniente usar coordenadas cilíndricas.
Passo 38
Em coordenadas cilíndricas:
y = rcostheta,
z = rsintheta,
x varia de 0 a y/3 = rcostheta /3,
r varia de 0 a 3,
theta varia de 0 a pi/2 (primeiro octante).
A integral fica:
integraltheta=0^pi/2 integralr=0^3 integralx=0^rcostheta3 z cdot r , dx , dr , dtheta
Note que z = rsintheta.
Passo 39
Substituindo z:
integral0^pi/2 integral0^3 integral0^rcostheta3 rsintheta cdot r , dx , dr , dtheta = integral0^pi/2 integral0^3 r^2 sintheta cdot rcostheta3 , dr , dtheta = 13 integral0^pi/2 integral0^3 r^3 sintheta costheta , dr , dtheta