Calcule:
integral triplaE sen y d V, onde E está abaixo do plano z=x e acima da região triangular com vértices (0,0,0),(pi, 0,0) e (0, pi, 0)
integral triplaE 6 x y d V, onde E está abaixo do plano z=1+x+y e acima da região do plano x y limitada pelas curvas y=raizx, y=0 e x=1
integral triplaE x y d V, onde E é limitado pelos cilindros parabólicos y=x^2 e x=y^2 e pelos planos z=0 e z=x+y
integral triplaT x^2 d V, onde T é o tetraedro sólido com vértices (0,0,0), (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1)
integral triplaT x y z d V, onde T é o tetraedro sólido com vértices (0,0,0), (1,0,0),(1,1,0) e (1,0,1)
integral triplaE x d V, onde E é limitado pelo paraboloide x=4 y^2+4 z^2 e pelo plano x=4
integral triplaE z d V, onde E é limitado pelo cilindro y^2+z^2=9 e pelos planos x=0, y=3 x e z=0 no primeiro octante

Passo 1

Vamos analisar o primeiro cálculo: . Aqui, estamos lidando com uma integral tripla onde a região integral triplaE sen y , dV está abaixo do plano E e acima da região triangular no plano z = x com vértices em xy, (0,0,0) e (pi, 0,0). Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente a definição de integrais triplas e a definição dos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração para a região E. A base da região está no plano xy, formando um triângulo com os pontos dados. No eixo x, vai de 0 a pi, e para cada x, y varia de 0 a pi - x (já que a hipotenusa do triângulo é a linha x + y = pi). Finalmente, para cada ponto (x,y), z varia de 0 até o plano z = x.

Passo 3

Agora, podemos escrever a integral tripla com os limites definidos:

Passo 4

Vamos integrar em relação a z primeiro. Como não depende de sen y, a integral fica:
Então, a integral se simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos em relação a y:
Sabemos que integraly=0^pi - x sen y cdot x , dy = x cdot ( -cos y ) g|0^pi - x = x ( -cos (pi - x) + cos 0 ) , então:
cos (pi - x) = -cos x

Passo 6

Por fim, integramos em relação a x:
integralx=0^pi x (cos x + 1) , dx = integral0^pi x cos x , dx + integral0^pi x , dx
A primeira integral pode ser resolvida por partes:
A segunda integral é simples:
integral x cos x , dx = cos x cdot x - integral cos x , dx = x cos x + sen x
Então, avaliando de integral x , dx = x^22 a 0:

Passo 7

Agora, vamos para o segundo cálculo: integral triplaE 6xy , dV. A região E está abaixo do plano z = 1 + x + y e acima da região no plano xy limitada pelas curvas y = raizx, y = 0 e x = 1. Vamos precisar definir os limites de integração apropriados para essa região.

Passo 8

Primeiro, determinamos os limites no plano xy. A curva y = raizx se estende de x = 0 a x = 1. Para cada x nesse intervalo, y varia de 0 a raizx. Para z, ele vai de 0 até o plano z = 1 + x + y.

Passo 9

Escrevemos a integral tripla com esses limites:
integralx=0^1 integraly=0^raizx integralz=0^1 + x + y 6xy , dz , dy , dx

Passo 10

Integramos em relação a z primeiro:
integralz=0^1 + x + y 6xy , dz = 6xy cdot z g|0^1 + x + y = 6xy (1 + x + y)
A integral se torna:
integral0^1 integral0^raizx 6xy (1 + x + y) , dy , dx

Passo 11

Distribuímos e integramos em relação a y:
6x integral0^raizx y (1 + x + y) , dy = 6x [ integral y , dy + x integral y , dy + integral y^2 , dy ] = 6x [ y^22 + x y^22 + y^33 ]0^raizx
Substituindo y = raizx:
6x [ x2 + x cdot x2 + x^3/23 ] = 6x ( x2 + x^22 + x^3/23 )

Passo 12

Agora, integramos em relação a x:
6 integral0^1 ( x^22 + x^32 + x^5/23 ) dx = 6 [ x^36 + x^48 + 2x^7/221 ]0^1 = 6 ( 16 + 18 + 221 )
Calculando:
6 ( 28168 + 21168 + 16168 ) = 6 cdot 65168 = 390168 = 6528

Passo 13

Agora, vamos calcular a terceira integral: integral triplaE xy , dV. A região E é limitada pelos cilindros parabólicos y = x^2 e x = y^2, além dos planos z = 0 e z = x + y. Vamos entender como esses limites definem a região de integração.

Passo 14

Primeiro, determinamos a região no plano xy onde y = x^2 e x = y^2. Encontramos os pontos de interseção resolvendo y = x^2 e x = y^2. Isso ocorre quando x = x^4, ou seja, x=0 e x=1. Assim, a região está entre x=0 a x=1, e para cada x, y varia de x^2 a raizx.
Para z, ele varia de 0 até z = x + y.

Passo 15

Escrevemos a integral tripla com os limites definidos:
integralx=0^1 integraly=x^2^raizx integralz=0^x + y xy , dz , dy , dx

Passo 16

Integramos em relação a z:
integralz=0^x + y xy , dz = xy cdot z g|0^x + y = xy (x + y)
A integral se torna:
integral0^1 integralx^2^raizx xy (x + y) , dy , dx

Passo 17

Distribuímos e integramos em relação a y:
integralx^2^raizx x^2 y + x y^2 , dy = x^2 cdot y^22 + x cdot y^33 g|x^2^raizx
Substituindo os limites:
x^2 cdot x2 + x cdot (raizx)^33 - ( x^2 cdot x^42 + x cdot (x^2)^33 ) = x^32 + x^5/23 - ( x^62 + x^73 )

Passo 18

Agora, integramos em relação a x:
integral0^1 ( x^32 + x^5/23 - x^62 - x^73 ) dx = 12 cdot x^44 + 13 cdot x^7/27/2 - 12 cdot x^77 - 13 cdot x^88 g|0^1
Calculando:
18 + 221 - 114 - 124 = 21168 + 16168 - 12168 - 7168 = 18168 = 328

Passo 19

Vamos calcular a quarta integral: integral triplaT x^2 , dV, onde T é o tetraedro com vértices em (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Aqui, estamos lidando com um tetraedro no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pela interseção dos planos x + y + z = 1.

Passo 20

Os limites de integração para x, y e z dentro do tetraedro são:
  • x varia de 0 a 1,
  • Para cada x, y varia de 0 a 1 - x,
  • Para cada (x,y), z varia de 0 a 1 - x - y.

Passo 21

Escrevemos a integral tripla:
integralx=0^1 integraly=0^1 - x integralz=0^1 - x - y x^2 , dz , dy , dx

Passo 22

Integramos em relação a z:
integralz=0^1 - x - y x^2 , dz = x^2 cdot z g|0^1 - x - y = x^2 (1 - x - y)
A integral se torna:
integral0^1 integral0^1 - x x^2 (1 - x - y) , dy , dx

Passo 23

Distribuímos e integramos em relação a y:
x^2 integral0^1 - x (1 - x - y) , dy = x^2 [ (1 - x)y - y^22 ]0^1 - x = x^2 ( (1 - x)(1 - x) - (1 - x)^22 ) = x^2 cdot (1 - x)^22

Passo 24

Agora, integramos em relação a x:
12 integral0^1 x^2 (1 - x)^2 , dx = 12 integral0^1 x^2 (1 - 2x + x^2) , dx = 12 integral0^1 (x^2 - 2x^3 + x^4) , dx
Integrando termo a termo:
12 ( x^33 - 2x^44 + x^55 ) g|0^1 = 12 ( 13 - 12 + 15 ) = 12 ( 1030 - 1530 + 630 ) = 12 cdot 130 = 160

Passo 25

Vamos para a quinta integral: integral triplaT xyz , dV, onde T é o tetraedro com vértices em (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0) e (1,0,1). Este tetraedro está limitado pelos planos coordenados e pelas interseções dadas.

Passo 26

Primeiro, identificamos os limites de integração. Aqui, x varia de 0 a 1. Para cada x, y varia de 0 a 1 - z, e z varia de 0 a 1 - y. No entanto, devido aos vértices, uma melhor parametrização é necessária.
Observando os vértices, a equação que limita o tetraedro pode ser derivada das interseções dos planos. Vamos definir os limites de y e z em função de x.
Após análise, para cada x, y varia de 0 a 1 - x, e para cada (x,y), z varia de 0 a 1 - x.

Passo 27

Escrevemos a integral tripla:
integralx=0^1 integraly=0^1 - x integralz=0^1 - x xyz , dz , dy , dx

Passo 28

Integramos em relação a z:
integralz=0^1 - x xyz , dz = xy cdot z^22 g|0^1 - x = xy cdot (1 - x)^22
A integral se torna:
12 integral0^1 integral0^1 - x xy (1 - x)^2 , dy , dx

Passo 29

Integramos em relação a y:
12 integral0^1 x (1 - x)^2 integral0^1 - x y , dy , dx = 12 integral0^1 x (1 - x)^2 cdot (1 - x)^22 , dx = 14 integral0^1 x (1 - x)^4 , dx

Passo 30

Para integrar integral0^1 x (1 - x)^4 , dx, usamos substituição ou expansão:
integral x (1 - x)^4 , dx = integral x (1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4) dx = integral (x - 4x^2 + 6x^3 - 4x^4 + x^5) dx = x^22 - 4x^33 + 6x^44 - 4x^55 + x^66 g|0^1
Calculando:
12 - 43 + 32 - 45 + 16 = (36 - 86 + 96 - 4.86 + 16) = (3 - 8 + 9 - 4.8 + 1)6 = 0.26 = 130
Portanto:
14 cdot 130 = 1120

Passo 31

Vamos para a sexta integral: integral triplaE x , dV, onde E é limitado pelo paraboloide x = 4y^2 + 4z^2 e pelo plano x = 4. Precisamos definir os limites de integração para essa região.

Passo 32

Primeiro, observamos que o paraboloide x = 4y^2 + 4z^2 se abre ao longo do eixo x, e intersecta o plano x=4 quando 4 = 4y^2 + 4z^2, ou seja, quando y^2 + z^2 = 1. Isso define um círculo de raio 1 no plano x=4.
Para facilitar, usamos coordenadas cilíndricas, onde y = rcostheta, z = rsintheta, e r varia de 0 a 1, theta de 0 a 2pi, e x de 4r^2 a 4.

Passo 33

Em coordenadas cilíndricas, a integral fica:
integraltheta=0^2pi integralr=0^1 integralx=4r^2^4 x cdot r , dx , dr , dtheta

Passo 34

Integramos em relação a x:
integral4r^2^4 x , dx = x^22 g|4r^2^4 = 162 - (4r^2)^22 = 8 - 16r^42 = 8 - 8r^4
A integral se torna:
integral0^2pi integral0^1 (8 - 8r^4) cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 8r - 8r^5 , dr , dtheta

Passo 35

Integramos em relação a r:
integral0^1 8r - 8r^5 , dr = 8 cdot r^22 - 8 cdot r^66 g|0^1 = 4 - 86 = 4 - 43 = 83
A integral se torna:
integral0^2pi 83 , dtheta = 83 cdot 2pi = 16pi3

Passo 36

Finalmente, vamos calcular a sétima integral: integral triplaE z , dV, onde E é limitado pelo cilindro y^2 + z^2 = 9 e pelos planos x = 0, y = 3x e z = 0 no primeiro octante. Precisamos definir os limites de integração para essa região.

Passo 37

Primeiro, notamos que no primeiro octante, x, y e z são positivos. O cilindro y^2 + z^2 = 9 tem raio 3, e limitado por z=0, ou seja, apenas a metade superior do cilindro está incluída.
O plano y = 3x relaciona x e y. Para cada x, y varia de 3x até a frente do cilindro, dado por y = raiz9 - z^2. Porém, como y e z são coordenados ligados pelo cilindro, é mais conveniente usar coordenadas cilíndricas.

Passo 38

Em coordenadas cilíndricas:
  • y = rcostheta,
  • z = rsintheta,
  • x varia de 0 a y/3 = rcostheta /3,
  • r varia de 0 a 3,
  • theta varia de 0 a pi/2 (primeiro octante).
A integral fica:
integraltheta=0^pi/2 integralr=0^3 integralx=0^rcostheta3 z cdot r , dx , dr , dtheta
Note que z = rsintheta.

Passo 39

Substituindo z:
integral0^pi/2 integral0^3 integral0^rcostheta3 rsintheta cdot r , dx , dr , dtheta = integral0^pi/2 integral0^3 r^2 sintheta cdot rcostheta3 , dr , dtheta = 13 integral0^pi/2 integral0^3 r^3 sintheta costheta , dr , dtheta

Passo 40

Integramos em relação a r:
13 integral0^pi/2 sintheta costheta [ r^44 ]0^3 , dtheta = 13 cdot 814 integral0^pi/2 sintheta costheta , dtheta = 274 integral0^pi/2 sintheta costheta , dtheta

Passo 41

Utilizamos a substituição u = sintheta, du = costheta , dtheta:
integral sintheta costheta , dtheta = integral u , du = u^22 = sin^2theta2
Avaliando de 0 a pi/2:
sin^2(pi/2)2 - sin^2(0)2 = 12 - 0 = 12
Portanto:
274 cdot 12 = 278

Resposta

O valor da integral tripla integral triplaE z , dV é 278.

Exercícios relacionados