Dadas a função
faça cada item abaixo:
Passo 1
Beleza, então a gente tem a função
. O que a gente vai fazer aqui envolve cálculo multivariável, especificamente encontrar os pontos críticos dessa função e determinar se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a
e
, resolver essas equações para encontrar os pontos críticos e depois usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Primeiro, para
:
Depois, para
:
Passo 4
Com isso, temos os seguintes pontos críticos:
Passo 5
Para classificar esses pontos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais.
O discriminante
é dado por:
Passo 6
Vamos avaliar
em cada ponto crítico:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: Ponto de Sela -
: Máximo Relativo -
: Mínimo Relativo -
: Ponto de Sela