Dadas a função
h(x, y) = 2*x^3 + y^3 - 3*x^2 - 3*y
faça cada item abaixo:

Passo 1

Beleza, então a gente tem a função . O que a gente vai fazer aqui envolve cálculo multivariável, especificamente encontrar os pontos críticos dessa função e determinar se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a e , resolver essas equações para encontrar os pontos críticos e depois usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Primeiro, para :
Depois, para :

Passo 4

Com isso, temos os seguintes pontos críticos:

Passo 5

Para classificar esses pontos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais.
O discriminante é dado por:

Passo 6

Vamos avaliar em cada ponto crítico:
  1. Para :
  1. Para :
á
  1. Para :
í
  1. Para :

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : Ponto de Sela
  • : Máximo Relativo
  • : Mínimo Relativo
  • : Ponto de Sela

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