© [F] A função F(x, y) = 4xy^2 + 4x^3 - 4y possui um ponto de mínimo local, um ponto de máximo local e apenas um ponto de sela.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos a função . Queremos descobrir se ela tem um ponto de mínimo local, um ponto de máximo local e um ponto de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente análise de pontos críticos e a classificação desses pontos usando a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Igualando a zero:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações e :
Da equação :
Como e são sempre positivos ou zero, a única solução é e .
Verificando na equação :
Isso indica que não há pontos críticos onde ambas as derivadas sejam zero simultaneamente. Porém, isso sugere que possivelmente há um erro no sistema. Vamos reavaliar as equações:
Da equação :
Substituindo na equação :
Isso não tem solução real, já que para todo .
Portanto, a única solução possível é e , mas que não satisfaz a segunda equação. Isso indica que não há pontos críticos reais para a função.

Passo 4

Como não encontramos pontos críticos reais, concluímos que a função não possui pontos de mínimo local, máximo local ou pontos de sela no domínio real.

Resposta

A função não possui pontos de mínimo local, máximo local ou pontos de sela no domínio real.

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