© [F] A função
possui um ponto de mínimo local, um ponto de máximo local e apenas um ponto de sela.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos a função
. Queremos descobrir se ela tem um ponto de mínimo local, um ponto de máximo local e um ponto de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente análise de pontos críticos e a classificação desses pontos usando a matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Igualando a zero:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações
e
:
Da equação
:
Como
e
são sempre positivos ou zero, a única solução é
e
.
Verificando na equação
:
Isso indica que não há pontos críticos onde ambas as derivadas sejam zero simultaneamente. Porém, isso sugere que possivelmente há um erro no sistema. Vamos reavaliar as equações:
Da equação
:
Substituindo
na equação
:
Isso não tem solução real, já que
para todo
.
Portanto, a única solução possível é
e
, mas que não satisfaz a segunda equação. Isso indica que não há pontos críticos reais para a função.
Passo 4
Como não encontramos pontos críticos reais, concluímos que a função não possui pontos de mínimo local, máximo local ou pontos de sela no domínio real.
Resposta
A função
não possui pontos de mínimo local, máximo local ou pontos de sela no domínio real.