Determine se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma sequência definida por
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência está crescendo, decrescendo ou não é monótona. Além disso, queremos saber se ela é limitada. Para resolver isso, vamos lembrar dos conceitos de monotonicidade e limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser monótona. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior, ou seja,
para todo
. Ela é decrescente se cada termo é menor que o anterior, ou seja,
. Se não seguir nenhuma dessas regras, a sequência não é monótona.
Passo 3
Agora, vamos analisar nossa sequência
. Vamos comparar
com
:
Queremos ver se
é maior ou menor que
. Vamos calcular a diferença:
Se essa diferença for positiva, significa que
, indicando que a sequência está decrescendo.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da diferença:
O numerador
é positivo porque, conforme
aumenta,
também aumenta, e
. Portanto, toda a expressão é positiva:
Isso mostra que a sequência está decrescendo.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Sabemos que para todo
,
. Além disso, conforme
aumenta,
se aproxima de 0, já que o denominador cresce sem limites. Assim, a sequência está limitada inferiormente por 0 e limitada superiormente por
(quando
).
Resposta
A sequência
é decrescente e limitada.