Determine se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada.
a_n = 1 / (n ln n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma sequência definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência está crescendo, decrescendo ou não é monótona. Além disso, queremos saber se ela é limitada. Para resolver isso, vamos lembrar dos conceitos de monotonicidade e limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser monótona. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior, ou seja, para todo . Ela é decrescente se cada termo é menor que o anterior, ou seja, . Se não seguir nenhuma dessas regras, a sequência não é monótona.

Passo 3

Agora, vamos analisar nossa sequência . Vamos comparar com :
Queremos ver se é maior ou menor que . Vamos calcular a diferença:
Se essa diferença for positiva, significa que , indicando que a sequência está decrescendo.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da diferença:
O numerador é positivo porque, conforme aumenta, também aumenta, e . Portanto, toda a expressão é positiva:
Isso mostra que a sequência está decrescendo.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Sabemos que para todo , . Além disso, conforme aumenta, se aproxima de 0, já que o denominador cresce sem limites. Assim, a sequência está limitada inferiormente por 0 e limitada superiormente por (quando ).

Resposta

A sequência é decrescente e limitada.

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