Através da regra da cadeia determine as derivadas parciais indicadas:
com
e
; determine
quando
e
4 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica de cálculo para derivar funções compostas. Primeiro, vamos entender as funções que temos:
-
-
-
(a expressão para precisa estar clara, mas vou considerar que para seguir com a resolução)
Vamos precisar calcular as derivadas parciais
,
e
usando a regra da cadeia com essas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
de forma mais clara:
Agora, para encontrar
,
e
, vamos derivar
em relação a cada uma das variáveis
,
e
, respectivamente, usando a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aplicando a regra da cadeia:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
e
em relação a
.
Passo 4
Vamos encontrar
e
:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
da mesma forma:
Onde:
Passo 7
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 8
Por fim, vamos calcular
:
Onde:
Passo 9
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 10
Agora, vamos substituir os valores
,
e
nas expressões de
e
:
Passo 11
Substituindo
,
,
,
e
nas expressões de
,
e
:
Resposta
As derivadas parciais avaliadas nos pontos dados são:
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional da função no ponto P na direção de P ao ponto Q .
e
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Considere a função
. Temos que
e
e, portanto,
possui uma raiz no intervalo
. Podemos escrever a equação
de duas maneiras distintas:
Para resolver a equação
pelo método do ponto fixo, consideramos, portanto, as funções de iteração:
e
. Escolha, em cada caso,
tal que o método do ponto fixo
converge para a raiz de
em
. Para qual função, dentre
e
, é esperada a convergência mais rápida?
Considere a função
.
a) Mostre que a equação possui apenas uma solução positiva.
b) Deseja-se calcular tal que
por um método do ponto fixo
Qual das funções
a) Mostre que a equação
b) Deseja-se calcular
é a mais adequada para esse fim? Justifique com base na análise de convergência para cada caso.
c) Para a função escolhida, calcule 5 iterações partindo do ponto .
d) Para e para a função escolhida, determine o número de iterações necessárias (sem fazer as iterações) para calcular
com precisão de
.
c) Para a função escolhida, calcule 5 iterações partindo do ponto
d) Para