Através da regra da cadeia determine as derivadas parciais indicadas:
com
e
; determine
quando
e
4 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica de cálculo para derivar funções compostas. Primeiro, vamos entender as funções que temos:
-
-
-
(a expressão para precisa estar clara, mas vou considerar que para seguir com a resolução)
Vamos precisar calcular as derivadas parciais
,
e
usando a regra da cadeia com essas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
de forma mais clara:
Agora, para encontrar
,
e
, vamos derivar
em relação a cada uma das variáveis
,
e
, respectivamente, usando a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aplicando a regra da cadeia:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
e
em relação a
.
Passo 4
Vamos encontrar
e
:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
da mesma forma:
Onde:
Passo 7
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 8
Por fim, vamos calcular
:
Onde:
Passo 9
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 10
Agora, vamos substituir os valores
,
e
nas expressões de
e
:
Passo 11
Substituindo
,
,
,
e
nas expressões de
,
e
:
Resposta
As derivadas parciais avaliadas nos pontos dados são: