Através da regra da cadeia determine as derivadas parciais indicadas: com e ; determine quando e 4 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a , e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica de cálculo para derivar funções compostas. Primeiro, vamos entender as funções que temos:
  • (a expressão para precisa estar clara, mas vou considerar que para seguir com a resolução)
Vamos precisar calcular as derivadas parciais , e usando a regra da cadeia com essas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de forma mais clara:
Agora, para encontrar , e , vamos derivar em relação a cada uma das variáveis , e , respectivamente, usando a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aplicando a regra da cadeia:
Aqui, e são as derivadas parciais de e em relação a .

Passo 4

Vamos encontrar e :

Passo 5

Substituindo e na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos calcular da mesma forma:
Onde:

Passo 7

Substituindo e na expressão de :

Passo 8

Por fim, vamos calcular :
Onde:

Passo 9

Substituindo e na expressão de :

Passo 10

Agora, vamos substituir os valores , e nas expressões de e :

Passo 11

Substituindo , , , e nas expressões de , e :

Resposta

As derivadas parciais avaliadas nos pontos dados são:

Exercícios relacionados

Determine a derivada direcional da função no ponto P na direção de P ao ponto Q . e
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Considere a função . Temos que e e, portanto, possui uma raiz no intervalo . Podemos escrever a equação de duas maneiras distintas:
Para resolver a equação pelo método do ponto fixo, consideramos, portanto, as funções de iteração: e . Escolha, em cada caso, tal que o método do ponto fixo converge para a raiz de em . Para qual função, dentre e , é esperada a convergência mais rápida?
Considere a função .
a) Mostre que a equação possui apenas uma solução positiva.
b) Deseja-se calcular tal que por um método do ponto fixo Qual das funções
é a mais adequada para esse fim? Justifique com base na análise de convergência para cada caso.
c) Para a função escolhida, calcule 5 iterações partindo do ponto .
d) Para e para a função escolhida, determine o número de iterações necessárias (sem fazer as iterações) para calcular com precisão de .