Através da regra da cadeia determine as derivadas parciais indicadas: T = v / (2*u + v') com u = p * q * raiz(r) e v = p * r * raiz(q); determine T_p, T_q, T_r quando p = 2, q = 1 e r = 4 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a , e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica de cálculo para derivar funções compostas. Primeiro, vamos entender as funções que temos:
  • (a expressão para precisa estar clara, mas vou considerar que para seguir com a resolução)
Vamos precisar calcular as derivadas parciais , e usando a regra da cadeia com essas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de forma mais clara:
Agora, para encontrar , e , vamos derivar em relação a cada uma das variáveis , e , respectivamente, usando a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aplicando a regra da cadeia:
Aqui, e são as derivadas parciais de e em relação a .

Passo 4

Vamos encontrar e :

Passo 5

Substituindo e na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos calcular da mesma forma:
Onde:

Passo 7

Substituindo e na expressão de :

Passo 8

Por fim, vamos calcular :
Onde:

Passo 9

Substituindo e na expressão de :

Passo 10

Agora, vamos substituir os valores , e nas expressões de e :

Passo 11

Substituindo , , , e nas expressões de , e :

Resposta

As derivadas parciais avaliadas nos pontos dados são:

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