Determine a derivada direcional da função no ponto P na direção de P ao ponto Q . f(x, y) = x / y^2 ; P(3, -1) e Q(-2, 11)

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente encontrar a derivada direcional da função no ponto P(3, -1) na direção do ponto Q(-2, 11). Pra resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores de direção, vetores unitários e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor que aponta de P para Q. Fazendo as contas:

Passo 3

Agora, a gente precisa transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. A magnitude do vetor é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e :

Passo 5

Com as derivadas parciais, formamos o vetor gradiente no ponto P(3, -1):
Então,

Passo 6

Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de no ponto P na direção de Q é .

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