Determine a derivada direcional da função no ponto P na direção de P ao ponto Q .
e
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente encontrar a derivada direcional da função
no ponto P(3, -1) na direção do ponto Q(-2, 11). Pra resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores de direção, vetores unitários e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o vetor que aponta de P para Q. Fazendo as contas:
Passo 3
Agora, a gente precisa transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. A magnitude do vetor
é:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
:
Passo 5
Com as derivadas parciais, formamos o vetor gradiente
no ponto P(3, -1):
Então,
Passo 6
Agora, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto P na direção de Q é
.