Determine a derivada direcional da função no ponto P na direção de P ao ponto Q .
e
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente encontrar a derivada direcional da função
no ponto P(3, -1) na direção do ponto Q(-2, 11). Pra resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores de direção, vetores unitários e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o vetor que aponta de P para Q. Fazendo as contas:
Passo 3
Agora, a gente precisa transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. A magnitude do vetor
é:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
:
Passo 5
Com as derivadas parciais, formamos o vetor gradiente
no ponto P(3, -1):
Então,
Passo 6
Agora, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto P na direção de Q é
.
Exercícios relacionados
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Determine a derivada direcional da função no ponto dado e da direção do vetor
.
e
Através da regra da cadeia determine as derivadas parciais indicadas:
com
e
; determine
quando
e
4 .
Considere a função
. Temos que
e
e, portanto,
possui uma raiz no intervalo
. Podemos escrever a equação
de duas maneiras distintas:
Para resolver a equação
pelo método do ponto fixo, consideramos, portanto, as funções de iteração:
e
. Escolha, em cada caso,
tal que o método do ponto fixo
converge para a raiz de
em
. Para qual função, dentre
e
, é esperada a convergência mais rápida?