Considere a função
.
a) Mostre que a equação
possui apenas uma solução positiva.
b) Deseja-se calcular
tal que
por um método do ponto fixo
Qual das funções
é a mais adequada para esse fim? Justifique com base na análise de convergência para cada caso.
c) Para a função escolhida, calcule 5 iterações partindo do ponto
.
d) Para
e para a função escolhida, determine o número de iterações necessárias (sem fazer as iterações) para calcular
com precisão de
.
a) Mostre que a equação
b) Deseja-se calcular
c) Para a função escolhida, calcule 5 iterações partindo do ponto
d) Para
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem a função
com
. O conteúdo aqui envolve funções, equações e métodos numéricos, especificamente o método do ponto fixo. Para resolver as partes a) a d), vamos precisar entender como analisar funções, verificar unicidade de soluções e aplicar iterações num método específico. Bora lá!
Passo 2
Parte a): Mostrar que a equação
possui apenas uma solução positiva.
Primeiro, vamos entender a função
. Queremos mostrar que existe só um valor de
que faz
.
Vamos estudar o comportamento de
:
-
Derivada de
: A derivadaé sempre positiva para porque tanto 1 quanto são positivos nesse intervalo. -
Interpretação:
Como a derivada é positiva em todo, isso significa que a função é estritamente crescente nesse intervalo. -
Conseqüência:
Uma função que é estritamente crescente não pode cruzar o eixomais de uma vez. Assim, a equação pode ter no máximo uma solução. -
Verificação da existência de solução:
- Quando
se aproxima de 0, vai para , então também vai para . - Quando
tende ao infinito, também tende ao infinito.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, comopassa de a e é contínua e crescente, existe exatamente um tal que . - Quando
Passo 3
Parte b): Escolher a função
mais adequada para o método do ponto fixo e justificar com base na análise de convergência.
O método do ponto fixo envolve reescrever a equação
na forma
e iterar usando
. As opções dadas são:
Vamos analisar cada uma para ver qual é a melhor candidata.
-
Convergência do Método do Ponto Fixo:
Para garantir que o método convirja, a funçãoprecisa ser contrativa perto da solução, ou seja, . -
Análise das Funções:
-
: Para, . Isso é maior que 1 quando , o que pode levar a divergência. -
: Aqui,, que é sempre menor que 1 para todo . Isso garante que a função é contrativa e o método vai convergir. -
: Para, , então . No entanto, para pequeno, se aproxima de 0, mas conforme aumenta, se aproxima de 1, o que pode comprometer a convergência.
-
-
Conclusão:
A funçãotem uma derivada com módulo sempre menor que 1 para , garantindo que o método do ponto fixo irá convergir para a solução única de .
Passo 4
Parte c): Calcular 5 iterações do método do ponto fixo usando
começando de
.
Vamos aplicar a fórmula
:
-
Iteração 1 (
): -
Iteração 2 (
): -
Iteração 3 (
): -
Iteração 4 (
): -
Iteração 5 (
):
Passo 5
Parte d): Determinar o número de iterações necessárias para calcular
com precisão de
usando
e
.
Para estimar o número de iterações, podemos usar a taxa de convergência do método do ponto fixo. A fórmula geral para o erro após
iterações é:
Onde
. Para
:
O máximo ocorre quando
é mínimo, que é
:
No entanto, precisamente
para
. Para uma estimativa mais conservadora, assumimos
, mas na prática, como
aumenta,
diminui.
Usando a fórmula de erro:
Queremos
. Tomando logaritmo:
Como
varia, vamos assumir
.
Arredondando, seriam necessárias aproximadamente 161 iterações para garantir a precisão de
.
Resposta
a) A equação
tem apenas uma solução positiva.
b) A função mais adequada para o método do ponto fixo é
, pois garante a convergência devido à sua derivada ter módulo sempre menor que 1.
c) As 5 iterações são:
d) São necessárias aproximadamente 161 iterações para calcular
com precisão de
partindo de
.
Exercícios relacionados
Considere a função
. Temos que
e
e, portanto,
possui uma raiz no intervalo
. Podemos escrever a equação
de duas maneiras distintas:
Para resolver a equação
pelo método do ponto fixo, consideramos, portanto, as funções de iteração:
e
. Escolha, em cada caso,
tal que o método do ponto fixo
converge para a raiz de
em
. Para qual função, dentre
e
, é esperada a convergência mais rápida?
Através da regra da cadeia determine as derivadas parciais indicadas:
com
e
; determine
quando
e
4 .
A equação
pode ser reescrita como
de diversas formas diferentes para aplicação do método do ponto fixo (iterações lineares). Determine analiticamente a região de convergência para as raízes
e
e faça os gráficos de convergência
superposto à reta
para os seguintes casos:
a)
b)
a)
b)
Seja
a função definida por
.
a) Mostre que é um ponto fixo de
.
b) Estime o máximo valor absoluto da derivada no intervalo
e conclua que
é uma contração nesse intervalo.
c) Conclua que se a sequência definida
converge para
.
a) Mostre que
b) Estime o máximo valor absoluto da derivada
c) Conclua que se