Considere a função .
a) Mostre que a equação possui apenas uma solução positiva.
b) Deseja-se calcular tal que por um método do ponto fixo Qual das funções
é a mais adequada para esse fim? Justifique com base na análise de convergência para cada caso.
c) Para a função escolhida, calcule 5 iterações partindo do ponto .
d) Para e para a função escolhida, determine o número de iterações necessárias (sem fazer as iterações) para calcular com precisão de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem a função com . O conteúdo aqui envolve funções, equações e métodos numéricos, especificamente o método do ponto fixo. Para resolver as partes a) a d), vamos precisar entender como analisar funções, verificar unicidade de soluções e aplicar iterações num método específico. Bora lá!

Passo 2

Parte a): Mostrar que a equação possui apenas uma solução positiva.
Primeiro, vamos entender a função . Queremos mostrar que existe só um valor de que faz .
Vamos estudar o comportamento de :
  1. Derivada de :
    A derivada é sempre positiva para porque tanto 1 quanto são positivos nesse intervalo.
  2. Interpretação:
    Como a derivada é positiva em todo , isso significa que a função é estritamente crescente nesse intervalo.
  3. Conseqüência:
    Uma função que é estritamente crescente não pode cruzar o eixo mais de uma vez. Assim, a equação pode ter no máximo uma solução.
  4. Verificação da existência de solução:
    • Quando se aproxima de 0, vai para , então também vai para .
    • Quando tende ao infinito, também tende ao infinito.
    Pelo Teorema do Valor Intermediário, como passa de a e é contínua e crescente, existe exatamente um tal que .

Passo 3

Parte b): Escolher a função mais adequada para o método do ponto fixo e justificar com base na análise de convergência.
O método do ponto fixo envolve reescrever a equação na forma e iterar usando . As opções dadas são:
Vamos analisar cada uma para ver qual é a melhor candidata.
  1. Convergência do Método do Ponto Fixo:
    Para garantir que o método convirja, a função precisa ser contrativa perto da solução, ou seja, .
  2. Análise das Funções:
    • :
      Para , . Isso é maior que 1 quando , o que pode levar a divergência.
    • :
      Aqui, , que é sempre menor que 1 para todo . Isso garante que a função é contrativa e o método vai convergir.
    • :
      Para , , então . No entanto, para pequeno, se aproxima de 0, mas conforme aumenta, se aproxima de 1, o que pode comprometer a convergência.
  3. Conclusão:
    A função tem uma derivada com módulo sempre menor que 1 para , garantindo que o método do ponto fixo irá convergir para a solução única de .

Passo 4

Parte c): Calcular 5 iterações do método do ponto fixo usando começando de .
Vamos aplicar a fórmula :
  1. Iteração 1 ( ):
  2. Iteração 2 ( ):
  3. Iteração 3 ( ):
  4. Iteração 4 ( ):
  5. Iteração 5 ( ):

Passo 5

Parte d): Determinar o número de iterações necessárias para calcular com precisão de usando e .
Para estimar o número de iterações, podemos usar a taxa de convergência do método do ponto fixo. A fórmula geral para o erro após iterações é:
Onde . Para :
O máximo ocorre quando é mínimo, que é :
No entanto, precisamente para . Para uma estimativa mais conservadora, assumimos , mas na prática, como aumenta, diminui.
Usando a fórmula de erro:
Queremos . Tomando logaritmo:
Como varia, vamos assumir .
Arredondando, seriam necessárias aproximadamente 161 iterações para garantir a precisão de .

Resposta

a) A equação tem apenas uma solução positiva.
b) A função mais adequada para o método do ponto fixo é , pois garante a convergência devido à sua derivada ter módulo sempre menor que 1.
c) As 5 iterações são:
d) São necessárias aproximadamente 161 iterações para calcular com precisão de partindo de .

Exercícios relacionados

Considere a função . Temos que e e, portanto, possui uma raiz no intervalo . Podemos escrever a equação de duas maneiras distintas:
Para resolver a equação pelo método do ponto fixo, consideramos, portanto, as funções de iteração: e . Escolha, em cada caso, tal que o método do ponto fixo converge para a raiz de em . Para qual função, dentre e , é esperada a convergência mais rápida?
Através da regra da cadeia determine as derivadas parciais indicadas: com e ; determine quando e 4 .
A equação pode ser reescrita como de diversas formas diferentes para aplicação do método do ponto fixo (iterações lineares). Determine analiticamente a região de convergência para as raízes e e faça os gráficos de convergência superposto à reta para os seguintes casos:
a)
b)
Seja a função definida por .
a) Mostre que é um ponto fixo de .
b) Estime o máximo valor absoluto da derivada no intervalo e conclua que é uma contração nesse intervalo.
c) Conclua que se a sequência definida converge para .