Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f(x, y, z) = x ln(y z) ; P(1, 2, 1/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a taxa de variação máxima da função no ponto e também descobrir em qual direção isso acontece. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos ajuda a entender como a função muda mais rapidamente em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis , e . Essas derivadas nos darão o vetor gradiente.
A derivada parcial em relação a é:
Em relação a :
E em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Com essas derivadas, o vetor gradiente no ponto é:

Passo 5

A taxa de variação máxima da função no ponto é o módulo do vetor gradiente. Para calcular o módulo, usamos a fórmula:

Passo 6

A direção em que ocorre a taxa de variação máxima é a direção do vetor gradiente. Para expressar essa direção como um vetor unitário, normalizamos o vetor gradiente:
çã

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é e ocorre na direção do vetor .

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