Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a taxa de variação máxima da função no ponto e também descobrir em qual direção isso acontece. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos ajuda a entender como a função muda mais rapidamente em cada ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis , e . Essas derivadas nos darão o vetor gradiente.
A derivada parcial em relação a é:
Em relação a :
E em relação a :
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Com essas derivadas, o vetor gradiente no ponto é:
Passo 5
A taxa de variação máxima da função no ponto é o módulo do vetor gradiente. Para calcular o módulo, usamos a fórmula:
Passo 6
A direção em que ocorre a taxa de variação máxima é a direção do vetor gradiente. Para expressar essa direção como um vetor unitário, normalizamos o vetor gradiente:
çã
Resposta
A taxa de variação máxima de no ponto é e ocorre na direção do vetor .