Considere a função f(x) = x^3 + 5x - 1. Temos que f(0) = -1 e f(1) = 5 e, portanto, f possui uma raiz no intervalo [0,1]. Podemos escrever a equação f(x) = 0 de duas maneiras distintas:
1 - x^3 - x/4 e x = (1 - x^3) / 5
Para resolver a equação f(x) = 0 pelo método do ponto fixo, consideramos, portanto, as funções de iteração: phi1(x) = 1 - x^4 - x/4 e phi_2(x) = (1 - x^3) / 5. Escolha, em cada caso, x0 pertencente a [0,1] tal que o método do ponto fixo x_{k+1} = varphi_{i}(x_{k}) converge para a raiz de f em [0,1]. Para qual função, dentre phi1 e phi_2, é esperada a convergência mais rápida?

Passo 1

Então, a gente tem a função . Sabemos que e , o que indica que existe uma raiz dessa função no intervalo . A gente quer resolver a equação usando o método do ponto fixo. Para isso, temos duas funções de iteração:
Vamos precisar entender como o método do ponto fixo funciona e quais condições garantem a convergência para escolher o melhor ponto inicial e identificar qual das duas funções de iteração vai nos levar mais rápido à raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método do ponto fixo. Ele consiste em iterar uma função de forma que:
Para que esse método convirja para a raiz, precisamos que a derivada de no intervalo seja menor que 1 em valor absoluto, ou seja, .

Passo 3

Vamos analisar a função . Calculando a derivada:
Para :
O valor absoluto máximo de é , que é menor que 1. Então, essa função atende à condição de convergência.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a função . Calculando a derivada:
Para :
Esse valor também é menor que 1, então a função também garante a convergência pelo método do ponto fixo.

Passo 5

Para escolher o melhor ponto inicial , geralmente começamos no meio do intervalo se não temos informações adicionais. Vamos escolher para ambos os métodos.

Passo 6

Agora, vamos comparar qual das duas funções vai convergir mais rápido. A taxa de convergência está relacionada ao valor absoluto da derivada no intervalo:
  • Para , temos
  • Para , temos
Como , a função tem uma taxa de convergência mais rápida.

Resposta

Podemos escolher para ambas as fun��ões e no método do ponto fixo. Entretanto, a função é esperada para convergir mais rapidamente para a raiz de no intervalo .

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