Considere a função
. Temos que
e
e, portanto,
possui uma raiz no intervalo
. Podemos escrever a equação
de duas maneiras distintas:
Para resolver a equação
pelo método do ponto fixo, consideramos, portanto, as funções de iteração:
e
. Escolha, em cada caso,
tal que o método do ponto fixo
converge para a raiz de
em
. Para qual função, dentre
e
, é esperada a convergência mais rápida?
Passo 1
Então, a gente tem a função
. Sabemos que
e
, o que indica que existe uma raiz dessa função no intervalo
. A gente quer resolver a equação
usando o método do ponto fixo. Para isso, temos duas funções de iteração:
Vamos precisar entender como o método do ponto fixo funciona e quais condições garantem a convergência para escolher o melhor ponto inicial
e identificar qual das duas funções de iteração vai nos levar mais rápido à raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o método do ponto fixo. Ele consiste em iterar uma função
de forma que:
Para que esse método convirja para a raiz, precisamos que a derivada de
no intervalo
seja menor que 1 em valor absoluto, ou seja,
.
Passo 3
Vamos analisar a função
. Calculando a derivada:
Para
:
O valor absoluto máximo de
é
, que é menor que 1. Então, essa função atende à condição de convergência.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a função
. Calculando a derivada:
Para
:
Esse valor também é menor que 1, então a função
também garante a convergência pelo método do ponto fixo.
Passo 5
Para escolher o melhor ponto inicial
, geralmente começamos no meio do intervalo se não temos informações adicionais. Vamos escolher
para ambos os métodos.
Passo 6
Agora, vamos comparar qual das duas funções vai convergir mais rápido. A taxa de convergência está relacionada ao valor absoluto da derivada no intervalo:
- Para
, temos - Para
, temos
Como
, a função
tem uma taxa de convergência mais rápida.
Resposta
Podemos escolher
para ambas as fun��ões
e
no método do ponto fixo. Entretanto, a função
é esperada para convergir mais rapidamente para a raiz de
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Através da regra da cadeia determine as derivadas parciais indicadas:
com
e
; determine
quando
e
4 .
Determine a derivada direcional da função no ponto P na direção de P ao ponto Q .
e
Considere a função
.
a) Mostre que a equação possui apenas uma solução positiva.
b) Deseja-se calcular tal que
por um método do ponto fixo
Qual das funções
a) Mostre que a equação
b) Deseja-se calcular
é a mais adequada para esse fim? Justifique com base na análise de convergência para cada caso.
c) Para a função escolhida, calcule 5 iterações partindo do ponto .
d) Para e para a função escolhida, determine o número de iterações necessárias (sem fazer as iterações) para calcular
com precisão de
.
c) Para a função escolhida, calcule 5 iterações partindo do ponto
d) Para
A equação
pode ser reescrita como
de diversas formas diferentes para aplicação do método do ponto fixo (iterações lineares). Determine analiticamente a região de convergência para as raízes
e
e faça os gráficos de convergência
superposto à reta
para os seguintes casos:
a)
b)
a)
b)