Considere a função . Temos que e e, portanto, possui uma raiz no intervalo . Podemos escrever a equação de duas maneiras distintas:
Para resolver a equação pelo método do ponto fixo, consideramos, portanto, as funções de iteração: e . Escolha, em cada caso, tal que o método do ponto fixo converge para a raiz de em . Para qual função, dentre e , é esperada a convergência mais rápida?

Passo 1

Então, a gente tem a função . Sabemos que e , o que indica que existe uma raiz dessa função no intervalo . A gente quer resolver a equação usando o método do ponto fixo. Para isso, temos duas funções de iteração:
Vamos precisar entender como o método do ponto fixo funciona e quais condições garantem a convergência para escolher o melhor ponto inicial e identificar qual das duas funções de iteração vai nos levar mais rápido à raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método do ponto fixo. Ele consiste em iterar uma função de forma que:
Para que esse método convirja para a raiz, precisamos que a derivada de no intervalo seja menor que 1 em valor absoluto, ou seja, .

Passo 3

Vamos analisar a função . Calculando a derivada:
Para :
O valor absoluto máximo de é , que é menor que 1. Então, essa função atende à condição de convergência.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a função . Calculando a derivada:
Para :
Esse valor também é menor que 1, então a função também garante a convergência pelo método do ponto fixo.

Passo 5

Para escolher o melhor ponto inicial , geralmente começamos no meio do intervalo se não temos informações adicionais. Vamos escolher para ambos os métodos.

Passo 6

Agora, vamos comparar qual das duas funções vai convergir mais rápido. A taxa de convergência está relacionada ao valor absoluto da derivada no intervalo:
  • Para , temos
  • Para , temos
Como , a função tem uma taxa de convergência mais rápida.

Resposta

Podemos escolher para ambas as fun��ões e no método do ponto fixo. Entretanto, a função é esperada para convergir mais rapidamente para a raiz de no intervalo .

Exercícios relacionados

Através da regra da cadeia determine as derivadas parciais indicadas: com e ; determine quando e 4 .
Determine a derivada direcional da função no ponto P na direção de P ao ponto Q . e
Considere a função .
a) Mostre que a equação possui apenas uma solução positiva.
b) Deseja-se calcular tal que por um método do ponto fixo Qual das funções
é a mais adequada para esse fim? Justifique com base na análise de convergência para cada caso.
c) Para a função escolhida, calcule 5 iterações partindo do ponto .
d) Para e para a função escolhida, determine o número de iterações necessárias (sem fazer as iterações) para calcular com precisão de .
A equação pode ser reescrita como de diversas formas diferentes para aplicação do método do ponto fixo (iterações lineares). Determine analiticamente a região de convergência para as raízes e e faça os gráficos de convergência superposto à reta para os seguintes casos:
a)
b)