Através de transformações de coordenadas, simplifique a equação
e reconheça o lugar geométrico que ela representa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para simplificar a equação
usando transformações de coordenadas e descobrir que tipo de figura geométrica ela representa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra envolvendo mudanças de coordenadas, especificamente rotação e translação, além de completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, observamos que a equação geral tem termos mistos
, o que indica que o gráfico está rotacionado em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, precisamos eliminar esse termo cruzado através de uma rotação do sistema de coordenadas.
Passo 3
Para eliminar o termo
, encontramos o ângulo
de rotação usando a fórmula:
onde
,
e
. Calculando:
Então,
Isso nos dá o ângulo necessário para a rotação.
Passo 4
Após encontrar
, aplicamos a rotação das coordenadas usando as seguintes transformações:
Essas substituições vão eliminar o termo
na nova equação.
Passo 5
Substituindo
e
na equação original com as expressões acima, expandimos e simplificamos a equação. Devido à escolha do
, o termo
vai desaparecer, deixando uma equação sem termo cruzado.
Passo 6
Agora, a equação está na forma:
Para simplificar ainda mais, completamos os quadrados para os termos
e
:
onde
e
são constantes encontradas completando os quadrados.
Passo 7
Após completar os quadrados, chegamos a uma forma padrão da equação da cônica:
ou
dependendo do sinal dos termos.
Passo 8
Analisando a forma obtida, identificamos o tipo de cônica. Se ambos os termos são positivos, é uma elipse. Se um é positivo e o outro negativo, é uma hipérbole. Se for uma soma de um quadrado e um termo linear, pode ser uma parábola.
Resposta
Após simplificar a equação usando transformações de coordenadas, identificamos que o lugar geométrico representado é uma elipse.