Através de transformações de coordenadas, simplifique a equação 16 x^2-24 x y+9 y^2-85 x-30 y+175=0 e reconheça o lugar geométrico que ela representa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para simplificar a equação usando transformações de coordenadas e descobrir que tipo de figura geométrica ela representa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra envolvendo mudanças de coordenadas, especificamente rotação e translação, além de completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, observamos que a equação geral tem termos mistos , o que indica que o gráfico está rotacionado em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, precisamos eliminar esse termo cruzado através de uma rotação do sistema de coordenadas.

Passo 3

Para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C , encontramos o ângulo tan(2theta) = -2416 - 9 = -247 de rotação usando a fórmula:
2theta = arctan(-247) Rightarrow theta = 12 arctan(-247)
onde , e . Calculando:
Então,
Isso nos dá o ângulo necessário para a rotação.

Passo 4

Após encontrar x = x' costheta - y' sintheta , aplicamos a rotação das coordenadas usando as seguintes transformações:
y = x' sintheta + y' costheta
Essas substituições vão eliminar o termo na nova equação.

Passo 5

Substituindo e na equação original com as expressões acima, expandimos e simplificamos a equação. Devido à escolha do , o termo vai desaparecer, deixando uma equação sem termo cruzado.

Passo 6

Agora, a equação está na forma:
A' x'^2 + C' y'^2 + D' x' + E' y' + F' = 0
Para simplificar ainda mais, completamos os quadrados para os termos A'(x' + h)^2 + C'(y' + k)^2 = G e :
onde e são constantes encontradas completando os quadrados.

Passo 7

Após completar os quadrados, chegamos a uma forma padrão da equação da cônica:
(x' + h)^2a^2 + (y' + k)^2b^2 = 1
ou
(x' + h)^2a^2 - (y' + k)^2b^2 = 1
dependendo do sinal dos termos.

Passo 8

Analisando a forma obtida, identificamos o tipo de cônica. Se ambos os termos são positivos, é uma elipse. Se um é positivo e o outro negativo, é uma hipérbole. Se for uma soma de um quadrado e um termo linear, pode ser uma parábola.

Resposta

Após simplificar a equação usando transformações de coordenadas, identificamos que o lugar geométrico representado é uma elipse.

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