Escreva a matriz formada por três autovetores linearmente independentes em cada coluna e encontre a matriz , a inversa de .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que escrever a matriz , que é formada por três autovetores linearmente independentes em cada coluna. Depois, precisamos encontrar a inversa de , que é . Para isso, vamos precisar saber o que são autovetores, como formamos uma matriz com eles e como calculamos a inversa de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um autovetor. Um autovetor de uma matriz é um vetor não nulo que, quando multiplicado pela matriz, resulta em um múltiplo desse vetor. Isso é representado por:
onde é a matriz, é o autovetor e é o autovalor correspondente.
Passo 3
Para formar a matriz , precisamos selecionar três autovetores linearmente independentes e colocá-los como colunas da matriz. Vamos chamar esses autovetores de . Assim, a matriz fica:
É importante que esses vetores sejam linearmente independentes, o que significa que nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso garante que a matriz seja inversível.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inversa de , denotada por . A inversa de uma matriz existe se e somente se a matriz for quadrada e não singular (ou seja, seu determinante é diferente de zero). Como nossos autovetores são linearmente independentes, sabemos que atende a esses critérios.
Passo 5
Para calcular P^-1 = 1det(P) adj(P) , usamos a fórmula da inversa de uma matriz 3x3, que envolve o cálculo dos minores, cofatores e a matriz adjunta. A inversa é dada por:
onde é o determinante de e é a matriz adjunta de .
Passo 6
Vamos ao passo a passo para calcular det(P) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) :
Calcular o determinante de P^-1 = 1det(P) adj(P) ():
onde são os elementos da matriz .
Calcular os menores e os cofatores de cada elemento de .
Formar a matriz adjunta () transpondo a matriz de cofatores.
Multiplicar a adjunta pelo inverso do determinante para obter :
Resposta
Seguindo esses passos, conseguimos escrever a matriz com três autovetores linearmente independentes nas colunas e calcular sua inversa utilizando o determinante e a matriz adjunta. A resposta final é a matriz inversa obtida pelo processo descrito acima.