Escreva a matriz P formada por três autovetores linearmente independentes em cada coluna e encontre a matriz P^-1, a inversa de P.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que escrever a matriz , que é formada por três autovetores linearmente independentes em cada coluna. Depois, precisamos encontrar a inversa de , que é . Para isso, vamos precisar saber o que são autovetores, como formamos uma matriz com eles e como calculamos a inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um autovetor. Um autovetor de uma matriz é um vetor não nulo que, quando multiplicado pela matriz, resulta em um múltiplo desse vetor. Isso é representado por:
Av = lambda v
onde é a matriz, é o autovetor e é o autovalor correspondente.

Passo 3

Para formar a matriz P = | & | & | v1 & v2 & v3 | & | & | , precisamos selecionar três autovetores linearmente independentes e colocá-los como colunas da matriz. Vamos chamar esses autovetores de . Assim, a matriz fica:
É importante que esses vetores sejam linearmente independentes, o que significa que nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso garante que a matriz seja inversível.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inversa de , denotada por . A inversa de uma matriz existe se e somente se a matriz for quadrada e não singular (ou seja, seu determinante é diferente de zero). Como nossos autovetores são linearmente independentes, sabemos que atende a esses critérios.

Passo 5

Para calcular P^-1 = 1det(P) adj(P) , usamos a fórmula da inversa de uma matriz 3x3, que envolve o cálculo dos minores, cofatores e a matriz adjunta. A inversa é dada por:
onde é o determinante de e é a matriz adjunta de .

Passo 6

Vamos ao passo a passo para calcular det(P) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) :
  1. Calcular o determinante de P^-1 = 1det(P) adj(P) ( ):
    onde são os elementos da matriz .
  2. Calcular os menores e os cofatores de cada elemento de .
  3. Formar a matriz adjunta ( ) transpondo a matriz de cofatores.
  4. Multiplicar a adjunta pelo inverso do determinante para obter :

Resposta

Seguindo esses passos, conseguimos escrever a matriz com três autovetores linearmente independentes nas colunas e calcular sua inversa utilizando o determinante e a matriz adjunta. A resposta final é a matriz inversa obtida pelo processo descrito acima.

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