Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Determine: b) o total de diagonais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um polígono regular que, a partir de um vértice, tem tantas diagonais quanto um hexágono tem diagonais. Nosso objetivo aqui é descobrir o total de diagonais desse polígono. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria sobre diagonais em polígonos.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber quantas diagonais tem um hexágono. A fórmula para calcular o número total de diagonais de um polígono com
lados é:
Para um hexágono, onde
:
Então, um hexágono tem 9 diagonais no total.
Passo 3
Agora, voltando ao nosso polígono desconhecido. Sabemos que a partir de um vértice, ele tem tantas diagonais quanto as diagonais totais de um hexágono, ou seja, 9 diagonais desse vértice.
A fórmula para o número de diagonais que saem de um único vértice em um polígono de
lados é:
Isso porque não dá para desenhar diagonais para ele mesmo e para os dois vértices adjacentes.
Passo 4
Então, igualando as duas informações:
Resolvendo para
:
Portanto, nosso polígono tem 12 lados.
Passo 5
Agora que sabemos que o polígono tem 12 lados, podemos calcular o número total de diagonais usando a primeira fórmula:
Substituindo
:
Resposta
O total de diagonais do polígono é 54 diagonais.