Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Determine: b) o total de diagonais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um polígono regular que, a partir de um vértice, tem tantas diagonais quanto um hexágono tem diagonais. Nosso objetivo aqui é descobrir o total de diagonais desse polígono. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria sobre diagonais em polígonos.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber quantas diagonais tem um hexágono. A fórmula para calcular o número total de diagonais de um polígono com D = m(m - 3)2 lados é:
D = 6(6 - 3)2 = 6 times 32 = 9
Para um hexágono, onde :
Então, um hexágono tem 9 diagonais no total.

Passo 3

Agora, voltando ao nosso polígono desconhecido. Sabemos que a partir de um vértice, ele tem tantas diagonais quanto as diagonais totais de um hexágono, ou seja, 9 diagonais desse vértice.
A fórmula para o número de diagonais que saem de um único vértice em um polígono de d = n - 3 lados é:
Isso porque não dá para desenhar diagonais para ele mesmo e para os dois vértices adjacentes.

Passo 4

Então, igualando as duas informações:
n - 3 = 9
Resolvendo para n = 9 + 3 = 12 :
Portanto, nosso polígono tem 12 lados.

Passo 5

Agora que sabemos que o polígono tem 12 lados, podemos calcular o número total de diagonais usando a primeira fórmula:
D = n(n - 3)2
Substituindo D = 12(12 - 3)2 = 12 times 92 = 1082 = 54 :

Resposta

O total de diagonais do polígono é 54 diagonais.

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