Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Determine: d) a soma dos ângulos externos.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um polígono regular e queremos saber a soma dos seus ângulos externos. Para isso, sabemos que a partir de cada vértice desse polígono, o número de diagonais é igual ao número de diagonais de um hexágono. Vamos usar conceitos de geometria de polígonos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular o número de diagonais de um polígono. A fórmula para o número total de diagonais de um polígono de
lados é:
Mas o enunciado fala do número de diagonais a partir de um único vértice. Cada vértice se conecta a
outros vértices através de diagonais (não conta o próprio vértice e os dois adjacentes, que formam lados).
Passo 3
Vamos calcular o número de diagonais de um hexágono. Um hexágono tem 6 lados, então o número de diagonais a partir de um vértice é:
Ou seja, em um hexágono, a partir de cada vértice, saem 3 diagonais.
Passo 4
Sabemos que o polígono que estamos procurando também tem, a partir de cada vértice, 3 diagonais. Usando a relação:
Temos:
Isso mostra que nosso polígono também é um hexágono. Contudo, vamos confirmar a interpretação correta do enunciado para garantir a precisão.
Passo 5
Se o exercício se refere ao número total de diagonais de um hexágono, usamos a fórmula:
Então, um hexágono tem 9 diagonais no total.
Passo 6
O enunciado diz que nosso polígono tem, a partir de cada vértice, tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Isso significa que, a partir de cada vértice do polígono, saem 9 diagonais.
Usando a relação
:
Portanto, o polígono tem 12 lados, ou seja, é um dodecágono.
Passo 7
Agora, para determinar a soma dos ângulos externos de um polígono, usamos uma propriedade importante:
Essa soma é sempre constante para qualquer polígono, independente do número de lados.
Resposta
A soma dos ângulos externos é
.