Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Determine: d) a soma dos ângulos externos.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um polígono regular e queremos saber a soma dos seus ângulos externos. Para isso, sabemos que a partir de cada vértice desse polígono, o número de diagonais é igual ao número de diagonais de um hexágono. Vamos usar conceitos de geometria de polígonos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o número de diagonais de um polígono. A fórmula para o número total de diagonais de um polígono de Número de diagonais = n(n - 3)2 lados é:
ú
Mas o enunciado fala do número de diagonais a partir de um único vértice. Cada vértice se conecta a outros vértices através de diagonais (não conta o próprio vértice e os dois adjacentes, que formam lados).

Passo 3

Vamos calcular o número de diagonais de um hexágono. Um hexágono tem 6 lados, então o número de diagonais a partir de um vértice é:
n - 3 = 6 - 3 = 3
Ou seja, em um hexágono, a partir de cada vértice, saem 3 diagonais.

Passo 4

Sabemos que o polígono que estamos procurando também tem, a partir de cada vértice, 3 diagonais. Usando a relação:
d = n - 3
Temos:
n - 3 = 3 Rightarrow n = 6
Isso mostra que nosso polígono também é um hexágono. Contudo, vamos confirmar a interpretação correta do enunciado para garantir a precisão.

Passo 5

Se o exercício se refere ao número total de diagonais de um hexágono, usamos a fórmula:
Número total de diagonais = n(n - 3)2 = 6 times (6 - 3)2 = 6 times 32 = 9 ú
Então, um hexágono tem 9 diagonais no total.

Passo 6

O enunciado diz que nosso polígono tem, a partir de cada vértice, tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Isso significa que, a partir de cada vértice do polígono, saem 9 diagonais.
Usando a relação n - 3 = 9 Rightarrow n = 12 :
Portanto, o polígono tem 12 lados, ou seja, é um dodecágono.

Passo 7

Agora, para determinar a soma dos ângulos externos de um polígono, usamos uma propriedade importante:
Soma dos ângulos externos = 360^circ â
Essa soma é sempre constante para qualquer polígono, independente do número de lados.

Resposta

A soma dos ângulos externos é .

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