Verifique que, apesar de serem equações de segundo grau, elas representam diferentes lugares geométricos:
c) x^2-y^2=0 representa duas retas concorrentes (hipérbole degenerada);

Passo 1

Vamos lá! A gente tem a equação quadrática e precisamos mostrar que ela representa duas retas que se cruzam, ou seja, duas linhas que se encontram em um ponto. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra e geometria analítica, principalmente sobre como fatorar expressões e interpretar o que cada fator representa graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar fatorar a expressão a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) . Sabemos que a diferença de quadrados pode ser fatorada da seguinte maneira:
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = 0
Aplicando isso à nossa equação, temos:

Passo 3

Agora que fatoramos a equação, temos o produto de dois termos igual a zero. Isso significa que pelo menos um dos termos deve ser igual a zero. Então, temos duas possibilidades:
x - y = 0 ou x + y = 0

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente:
  1. Para x = y :
x = -y
Essa é a equação de uma reta que passa pela origem com inclinação 45°, ou seja, a reta .
  1. Para :
Essa é a equação de outra reta que também passa pela origem, mas com inclinação -45°, ou seja, a reta .

Passo 5

Então, a equação original y = x e y = -x na verdade representa duas retas:
Essas duas retas se cruzam no ponto (0,0), o que significa que são retas concorrentes. Graficamente, isso forma uma hipérbole degenerada, já que uma hipérbole normal tem dois ramos separados, mas aqui os ramos coincidem com as retas.

Resposta

A equação representa duas retas concorrentes, que são e .

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