Verifique que, apesar de serem equações de segundo grau, elas representam diferentes lugares geométricos:
c)
representa duas retas concorrentes (hipérbole degenerada);
c)
Passo 1
Vamos lá! A gente tem a equação quadrática
e precisamos mostrar que ela representa duas retas que se cruzam, ou seja, duas linhas que se encontram em um ponto. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra e geometria analítica, principalmente sobre como fatorar expressões e interpretar o que cada fator representa graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar fatorar a expressão
. Sabemos que a diferença de quadrados pode ser fatorada da seguinte maneira:
Aplicando isso à nossa equação, temos:
Passo 3
Agora que fatoramos a equação, temos o produto de dois termos igual a zero. Isso significa que pelo menos um dos termos deve ser igual a zero. Então, temos duas possibilidades:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente:
- Para
:
Essa é a equação de uma reta que passa pela origem com inclinação 45°, ou seja, a reta
.
- Para
:
Essa é a equação de outra reta que também passa pela origem, mas com inclinação -45°, ou seja, a reta
.
Passo 5
Então, a equação original
na verdade representa duas retas:
Essas duas retas se cruzam no ponto (0,0), o que significa que são retas concorrentes. Graficamente, isso forma uma hipérbole degenerada, já que uma hipérbole normal tem dois ramos separados, mas aqui os ramos coincidem com as retas.
Resposta
A equação
representa duas retas concorrentes, que são
e
.