Em aula, vimos que as funções seno e cosseno podem ser definidas como as coordenadas de um ponto sobre o círculo unitário, noutros termos o mapa que manda um x em R no ponto (cos(x), sen(x)) é uma parametrização do círculo unitário. Isto é, a medida que x percorre a reta real, (cos(x), sen(x)) percorre todo o círculo unitário. Vimos também que cos(x) e sen(x) são diferenciáveis e:
cos'(x) = -sen(x) sen'(x) = cos(x)
Considere agora as funções cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2 e senh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2 e observe que elas cumprem
(cosh(x))^2 - (senh(x))^2 = 1
para todo x em R. Ou seja, o mapa que manda x em R no ponto (cosh(x), senh(x)) parametriza a hipérbole unitária, conjunto dos pontos (x, y) com x^2 - y^2 = 1, de maneira muito semelhante à que o cosseno e seno parametrizam o círculo unitário. Por essa razão, chamamos cosh(x) e senh(x) de funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente.
Mostre que as funções cosh(x) e senh(x), como definidas acima, satisfazem:
cosh'(x) = senh(x) senh'(x) = cosh(x)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente estudou nas aulas que as funções cosseno hiperbólico ( ) e seno hiperbólico ( senh(x)) são definidas por:
Além disso, vimos que elas satisfazem a relação . O que a questão quer é que a gente mostre que as derivadas dessas funções são:
Vamos precisar usar as regras de derivação de funções exponenciais e entender como derivar combinações lineares dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar a função exponencial. A derivada de e^x em relação a x é simplesmente e^x, ou seja:
E a derivada de e^-x? Usando a regra da cadeia, temos que:

Passo 3

Agora, vamos derivar . Lembrando que:
A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função. Então:
Vamos derivar cada termo dentro do parêntese separadamente.

Passo 4

Derivando e^x e e^-x:
Então:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada de :
E olha só, isso é exatamente a definição de senh(x):
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos derivar senh(x). Sabemos que:
Aplicando a mesma lógica de antes, a derivada será:

Passo 7

Derivando cada termo:
Então:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da derivada de senh(x):
E isso é exatamente a definição de :
Portanto:

Resposta

As derivadas das funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico são:

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