Em aula, vimos que as funções seno e cosseno podem ser definidas como as coordenadas de um ponto sobre o círculo unitário, noutros termos o mapa que manda um
no ponto
é uma parametrização do círculo unitário. Isto é, a medida que
percorre a reta real,
percorre todo o círculo unitário. Vimos também que
e
são diferenciáveis e:
Considere agora as funções
e
e observe que elas cumprem
para todo
. Ou seja, o mapa que manda
no ponto
parametriza a hipérbole unitária, conjunto dos pontos
com
, de maneira muito semelhante à que o cosseno e seno parametrizam o círculo unitário. Por essa razão, chamamos
e
de funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente.
Mostre que as funções
e
, como definidas acima, satisfazem:
Mostre que as funções
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente estudou nas aulas que as funções cosseno hiperbólico (
) e seno hiperbólico (
) são definidas por:
Além disso, vimos que elas satisfazem a relação
. O que a questão quer é que a gente mostre que as derivadas dessas funções são:
Vamos precisar usar as regras de derivação de funções exponenciais e entender como derivar combinações lineares dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como derivar a função exponencial. A derivada de
em relação a
é simplesmente
, ou seja:
E a derivada de
? Usando a regra da cadeia, temos que:
Passo 3
Agora, vamos derivar
. Lembrando que:
A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função. Então:
Vamos derivar cada termo dentro do parêntese separadamente.
Passo 4
Derivando
e
:
Então:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada de
:
E olha só, isso é exatamente a definição de
:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos derivar
. Sabemos que:
Aplicando a mesma lógica de antes, a derivada será:
Passo 7
Derivando cada termo:
Então:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da derivada de
:
E isso é exatamente a definição de
:
Portanto:
Resposta
As derivadas das funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico são: