Em aula, vimos que as funções seno e cosseno podem ser definidas como as coordenadas de um ponto sobre o círculo unitário, noutros termos o mapa que manda um
no ponto
é uma parametrização do círculo unitário. Isto é, a medida que
percorre a reta real,
percorre todo o círculo unitário. Vimos também que
e
são diferenciáveis e:
Considere agora as funções
e
e observe que elas cumprem
para todo
. Ou seja, o mapa que manda
no ponto
parametriza a hipérbole unitária, conjunto dos pontos
com
, de maneira muito semelhante à que o cosseno e seno parametrizam o círculo unitário. Por essa razão, chamamos
e
de funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente.
Mostre que as funções
e
, como definidas acima, satisfazem:
Mostre que as funções
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente estudou nas aulas que as funções cosseno hiperbólico (
) e seno hiperbólico (
) são definidas por:
Além disso, vimos que elas satisfazem a relação
. O que a questão quer é que a gente mostre que as derivadas dessas funções são:
Vamos precisar usar as regras de derivação de funções exponenciais e entender como derivar combinações lineares dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como derivar a função exponencial. A derivada de
em relação a
é simplesmente
, ou seja:
E a derivada de
? Usando a regra da cadeia, temos que:
Passo 3
Agora, vamos derivar
. Lembrando que:
A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função. Então:
Vamos derivar cada termo dentro do parêntese separadamente.
Passo 4
Derivando
e
:
Então:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada de
:
E olha só, isso é exatamente a definição de
:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos derivar
. Sabemos que:
Aplicando a mesma lógica de antes, a derivada será:
Passo 7
Derivando cada termo:
Então:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da derivada de
:
E isso é exatamente a definição de
:
Portanto:
Resposta
As derivadas das funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico são:
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Vários fenômenos que envolvem a interação da matéria com a radiação eletromagnética(luz) podem ser explicados pensando que os átomos em uma molécula não estão estáticos, mas realizam um movimento periódico, sem alterar o centro de massa da molécula, que envolve dilatações e rotações das ligações atômicas entre um ou mais átomos, este movimento é chamado de vibração molecular. A ideia central é que uma molécula só pode vibrar de algumas formas específicas que dependem de sua geometria. A energia de uma molécula quando seus átomos vibram é acrescida da energia cinética desse movimento mas, como a molécula só pode vibrar em modos de vibração específicos, ela não consegue acomodar qualquer acréscimo de energia advindo da absorção de radiação eletromagnética. Por isso (e também vários outros fenômenos omitidos para fim de simplificação), diferentes materiais absorvem luz em diferentes frequências (a luz é absorvida pela matéria em pacotes de energia proporcionais à frequência da luz, chamados fótons).
Digamos que em um desses movimentos de vibração molecular um átomo de massa em uma molécula se desloca ao longo de um eixo de acordo com a função:
Digamos que em um desses movimentos de vibração molecular um átomo de massa
onde
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é uma constante que chamamos de amplitude do movimento,
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é também uma constante, chamada fase inicial do movimento.
Sabendo, então, que a energia cinética de um objeto é dada por
Sabendo, então, que a energia cinética de um objeto é dada por
onde
é a massa do objeto e
é sua velocidade, determine, em termos de
(massa do átomo),
e
, a energia cinética,
, desse átomo no instante
e seu valor máximo ao longo do movimento.
Em uma reação química a velocidade de consumo de um reagente (em gramas por litro por segundo) é dada pela função
onde
é a variável do tempo (medido em segundos).
Obtenha a concentração desse reagente (em gramas por litro) em função do tempo ao longo da reação, , sabendo que a concentração inicial é de
(isto é,
).
Obtenha a concentração desse reagente (em gramas por litro) em função do tempo ao longo da reação,
Resolva a equação.
Resolva a equação.