Vários fenômenos que envolvem a interação da matéria com a radiação eletromagnética(luz) podem ser explicados pensando que os átomos em uma molécula não estão estáticos, mas realizam um movimento periódico, sem alterar o centro de massa da molécula, que envolve dilatações e rotações das ligações atômicas entre um ou mais átomos, este movimento é chamado de vibração molecular. A ideia central é que uma molécula só pode vibrar de algumas formas específicas que dependem de sua geometria. A energia de uma molécula quando seus átomos vibram é acrescida da energia cinética desse movimento mas, como a molécula só pode vibrar em modos de vibração específicos, ela não consegue acomodar qualquer acréscimo de energia advindo da absorção de radiação eletromagnética. Por isso (e também vários outros fenômenos omitidos para fim de simplificação), diferentes materiais absorvem luz em diferentes frequências (a luz é absorvida pela matéria em pacotes de energia proporcionais à frequência da luz, chamados fótons).
Digamos que em um desses movimentos de vibração molecular um átomo de massa
em uma molécula se desloca ao longo de um eixo de acordo com a função:
onde
é a posição do átomo ao longo do eixo, em relação à sua posição de repouso, no instante
é uma constante que chamamos de amplitude do movimento,
é uma constante chamada de frequência do movimento e
é também uma constante, chamada fase inicial do movimento.
Sabendo, então, que a energia cinética de um objeto é dada por
onde
é a massa do objeto e
é sua velocidade, determine, em termos de
(massa do átomo),
e
, a energia cinética,
, desse átomo no instante
e seu valor máximo ao longo do movimento.
Digamos que em um desses movimentos de vibração molecular um átomo de massa
Sabendo, então, que a energia cinética de um objeto é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um átomo que está vibrando dentro de uma molécula seguindo uma função senoidal:
Aqui,
é a posição do átomo no tempo
,
é a amplitude da vibração,
é a frequência do movimento, e
é a fase inicial. A questão quer que a gente calcule a energia cinética desse átomo em qualquer instante
e também o valor máximo dessa energia durante o movimento. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da energia cinética:
onde
é a massa do átomo e
é a velocidade. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade
do átomo em função do tempo. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar
:
Derivando em relação a
:
Então, a velocidade do átomo é:
Passo 3
Agora que temos a velocidade
, podemos calcular a energia cinética
usando a fórmula:
Substituindo
na equação:
Simplificando:
Então, a energia cinética em função do tempo é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor máximo da energia cinética ao longo do movimento. Observamos a expressão:
O termo que depende do tempo é
. Sabemos que o cosseno ao quadrado varia entre 0 e 1, ou seja:
Portanto, o valor máximo de
é 1. Substituindo isso na expressão de
:
Resposta
A energia cinética do átomo no instante
é:
E o valor máximo da energia cinética durante o movimento é:
Exercícios relacionados
Em uma reação química a velocidade de consumo de um reagente (em gramas por litro por segundo) é dada pela função
onde
é a variável do tempo (medido em segundos).
Obtenha a concentração desse reagente (em gramas por litro) em função do tempo ao longo da reação, , sabendo que a concentração inicial é de
(isto é,
).
Obtenha a concentração desse reagente (em gramas por litro) em função do tempo ao longo da reação,
Verifique que
Em aula, vimos que as funções seno e cosseno podem ser definidas como as coordenadas de um ponto sobre o círculo unitário, noutros termos o mapa que manda um
no ponto
é uma parametrização do círculo unitário. Isto é, a medida que
percorre a reta real,
percorre todo o círculo unitário. Vimos também que
e
são diferenciáveis e:
Considere agora as funções
e
e observe que elas cumprem
para todo
. Ou seja, o mapa que manda
no ponto
parametriza a hipérbole unitária, conjunto dos pontos
com
, de maneira muito semelhante à que o cosseno e seno parametrizam o círculo unitário. Por essa razão, chamamos
e
de funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente.
Mostre que as funções e
, como definidas acima, satisfazem:
Mostre que as funções
Resolva a equação.