Resolva a equação.

Passo 1

Vamos resolver a equação . Esse exercício pertence ao conteúdo de Álgebra, especificamente envolvendo equações com valor absoluto e equações quadráticas. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com valores absolutos e como resolver equações de segundo grau.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o valor absoluto de uma expressão, como , pode ser positivo ou negativo. Por isso, vamos considerar dois casos:

Passo 3

Caso 1:
Nesse caso, o valor absoluto não altera o sinal da expressão. Então, a equação fica:
Vamos reorganizar os termos para formar uma equação quadrática:
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por 2:
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de :
Onde , , e :
Aproximando:
Então, as soluções são:
Mas, lembrando que nesse caso assumimos , ou seja, . Ambas as soluções satisfazem essa condição.

Passo 4

Caso 2:
Aqui, o valor absoluto inverte o sinal da expressão. Assim, a equação fica:
Simplificando:
Reorganizando para formar uma equação quadrática:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
Aplicando novamente a fórmula de Bhaskara:
Aproximando:
As soluções são:
Verificando a condição inicial desse caso, , ou seja, . Apenas não satisfaz essa condição. Portanto, não há soluções válidas nesse caso.

Resposta

A única solução válida para a equação é aproximadamente .

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Em aula, vimos que as funções seno e cosseno podem ser definidas como as coordenadas de um ponto sobre o círculo unitário, noutros termos o mapa que manda um no ponto é uma parametrização do círculo unitário. Isto é, a medida que percorre a reta real, percorre todo o círculo unitário. Vimos também que e são diferenciáveis e:
Considere agora as funções e e observe que elas cumprem
para todo . Ou seja, o mapa que manda no ponto parametriza a hipérbole unitária, conjunto dos pontos com , de maneira muito semelhante à que o cosseno e seno parametrizam o círculo unitário. Por essa razão, chamamos e de funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente.
Mostre que as funções e , como definidas acima, satisfazem:
Expresse o conjunto das soluções da inequação dada em notação de intervalo.
Expresse o conjunto das soluções da inequação dada em notação de intervalo. ||